Polynomials in one variable and signs of their coefficients and real roots - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

Polynomials in one variable and signs of their coefficients and real roots

Polynômes à une variable et signes de leurs coefficients et racines réelles

Résumé

Polynomials are very used in applied mathematics. Polynomial models provide an analytic framework for mechanics, physics, economy or financial modeling. They play an important role in a growing range of applications. For a real polynomial in one variable, one can consider on the one side the signs of its coefficients and on the other the signs of its possible real roots. The Descartes’ rule of signs imposes restrictions on the number of its positive roots expressed via the number of sign changes in its sequence of coefficients. This allows to deduce restrictions on the number of negative roots as well. A sign pattern (SP) of length d + 1 is a finite sequence of ”+” and/or ”−” signs. For the polynomial P := x^d + a_(d−1)x^(d−1) + ··· + a0, (aj ∈ R∗) we say that the sequence (1, a_(d−1), . . ., a0) defines the SP σ if σ = (+, sgn(a_(d−1)), . . ., sgn(a0)). As we consider only monic polynomials, the first sign of the SP is a ”+”. Denote by c and p the numbers of sign changes and sign preservations in the sequence (1, ad−1, . . ., a0) and by pos and neg the numbers of positive and negative roots of P counted with multiplicity. According to Descartes’ rule of signs, one has pos ≤ c and, applying this rule to the polynomial P (−x) one has neg ≤ p. Fourier’s observation is tantamount to saying that: c−pos ∈ 2Z and p−neg ∈ 2Z. We say that (pos, neg) is an admissible pair (AP) for σ if Descartes’ rule is satisfied (pos is the number of positive roots and neg the number of negative roots). A given couple (SP, AP) is realizable if there exists a monic polynomial whose sequence of coefficients defines the SP σ and which has exactly pos positive and exactly neg negative roots, all of them distinct. Question 1. For a given degree d, what are the non-realizable couples (SP,AP) ? We explore this question and find some sufficient conditions for the (non)existence of degree d real polynomials with two sign changes in the SP. For d ≤ 10 and for SPs with two sign changes, we give the exhaustive answer to Question 1. Up to degree 8, for all the non-realizable cases, one of the numbers pos or neg is 0. The next result presented in this thesis is that for d = 9, there is a non- realizable couple (SP, AP) in which both components of the AP are nonzero (and this is the only couple in degree 9). We formulate a third problem when a polynomial and its derivatives of all orders are considered. In this case we have one more constraint due to Rolle’s theorem. A list of APs of the polynomial P and its derivatives compatible with Descartes’ rule and Rolle’s theorem is called SAP (sequence of admissible pairs). In this part, one has explained the realizability of all possible SAPs in degree up to 5. The fourth result of this thesis concerns the explanation of the non-realizability of certain couples (SP, AP) using pictures showing the discriminant set. We explain the non-existence of the only non-realizable case for d = 5 and the existence of all other cases by means of pictures showing the discriminant set of the family of polynomials x^5 + x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d together with the coordinate axes.
Les polynômes sont très utilisés en mathématiques appliquées. Les modèles utilisant des polynômes fournissent un cadre analytique pour la modélisation mécanique, physique, économique ou financière. Pour un polynôme réel à une variable, nous considérons d’un côté les signes de ses coefficients et de l’autre les signes de ses racines réelles. La règle de Descartes impose des contraintes sur le nombre de racines strictement positives exprimées en termes du nombre de changements de signe dans la suite des coefficients du polynôme. Cela permet de déduire des restrictions sur le nombre de racines négatives. Une suite de signe (SS) de longueur d + 1 est une séquence finie de signes ”+” et/ou ”−”. Pour le polynôme P := x^d + a_(d−1)x^(d−1) + · · · + a0, (aj ∈ R∗) nous disons que la séquence (1, a_(d−1)), . . ., a_0) définit la SS σ si σ = (+, sgn (ad−1), . . ., sgn (a0)). Comme nous ne considérons que les polynômes moniques, le premier signe de la SS est un ”+”. Soit c (respectivement p) le nombre de changements (respectivement préservations) de signe dans la séquence (1, a_(d−1), . . ., a0) et soit pos (respectivement neg) le nombre de racines positives (respectivement négatives) de P compté avec multiplicité. D’aprés la règle de Descartes on a pos ≤ c et, en appliquant cette règle à P (−x), neg ≤ p. Une observation faite par Fourier dit que: c − pos ∈ 2Z et p − neg ∈ 2Z. On dit que (pos, neg) est une paire admissible (PA) pour σ si la règle de Descartes est satisfaite (pos est le nombre de racines positives et neg le nombre de racines négatives). Un couple (SS, PA) est dit réalisable s’il existe un polynôme monique dont la séquence de coefficients définit la SS σ et qui a exactement pos racines positives et neg racines négatives, toutes distinctes. Pour un degré donné d, nous recherchons les couples (SS, PA) non réalisables. Le premier résultat de notre travail donne des conditions suffisantes pour l’existence ou la non-existence de polynômes réels de degré d avec deux changements de signe dans la SS. Pour d ≤ 10 et pour les SS avec deux changements de signe, nous donnons la réponse exhaustive à la question. Jusqu’en degré 8, pour tous les cas non réalisables, l’un des nombres pos ou neg est 0. Le deuxième résultat présenté dans cette these, dit que pour d = 9, il existe un couple non réalisable (SS, PA) dans lequel les deux composantes de la PA sont non nulles (et c’est le seul couple en degré 9). Le troisième résultat porte sur un polynôme et ses dérivées de tous ordres. Dans ce cas, nous avons une contrainte supplémentaire qui est celle du théorème de Rolle. Une liste de PAs du polynôme P et de ses dérivées compatibles avec la règle de Descartes et le théorème de Rolle, est appelée séquence de paires admissibles (SPA). Dans cette partie, nous avons expliqué la (non) réalisabilité de toutes les SPA possibles en degré ≤ 5. Le quatrième résultat de cette thèse concerne l’explication de la non-réalisabilité à l’aide d’images montrant le discriminant. Nous expliquons la non-existence du seul cas non réalisable pour d = 5 et l’existence de tous les autres cas au moyen d’images montrant le discriminant de la famille des polynômes x^5 + x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d.
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2020COAZ4042.pdf (3.73 Mo) Télécharger le fichier
Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03177537 , version 1 (23-03-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03177537 , version 1

Citer

Hassan Cheriha. Polynomials in one variable and signs of their coefficients and real roots. General Mathematics [math.GM]. Université Côte d'Azur; Université de Carthage (Tunisie), 2020. English. ⟨NNT : 2020COAZ4042⟩. ⟨tel-03177537⟩
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