Nouvelles applications des surfaces rationnelles et surfaces de Kummer généralisées sur des corps finis à la cryptographie à base de couplages et à la théorie des codes BCH - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2021

New applications of rational and generalized Kummer surfaces over finite fields in pairing-based cryptography and in the theory of BCH codes

Nouvelles applications des surfaces rationnelles et surfaces de Kummer généralisées sur des corps finis à la cryptographie à base de couplages et à la théorie des codes BCH

Résumé

In the thesis two tasks arising for elliptic curves of j-invariants 0; 1728 are considered. These curves are known to have priority in pairing-based cryptography. The first task is devoted to the point compression of an elliptic curve, and the second one to the construction of a mapping from a finite field to the point group of an elliptic curve over it. To derive the corresponding explicit formulas, we use rathernon-trivial methods of birational geometry over finite fields, along with the theory of (generalized) Kummer surfaces. In contrast to the already known approaches to solving the mentioned tasks, ours require fewer exponentiations in the base field. This is significant, since in general even one exponentiation is considered a quite time-consuming operation. The thesis also studies a wide class of algebraic geometry (AG) codes on non-split toric surfaces, which we call non-split toric codes. Many of them are contained in a well-known class of q-ary BCH codes that can be quickly decoded (compared with AG ones). On the other hand, the theory of BCH codes (in contrast to AG ones) is not deep enough to exactly estimate their parameters. More precisely, to calculate the minimum distance of some non-split toric BCH codes, we use the theory of elliptic curves over finite fields.
Dans la thèse deux tâches se posant pour des courbes elliptiques de j-invariants 0; 1728 sont considérées. Ces courbes sont connues pour être prioritaires en cryptographie à base de couplages. La première tâche est consacrée à la compression de points d'une courbe elliptique, et la seconde à la construction d'une application d'un corps fini dans le groupe des points d'une courbe elliptique sur lui. Pour dériver les formules explicites correspondantes, nous utilisons des méthodes peu banales de géométrie birationnelle sur des corps finis, ainsi que la théorie des surfaces de Kummer (généralisées). Contrairement aux approches déjà connues pour résoudre les tâches mentionnées, les nôtres nécessitent moins d'exponentiations dans le corps de base. C'est important, car en général, même une seule exponentiation est considérée comme une opération assez longue. La thèse étudie également une large classe de codes (AG) de géométrie algébrique sur des surfaces toriques non déployées que nous appelons codes toriques non déployés. Beaucoup d'entre eux sont contenus dans une classe bien connue de codes BCH q-aires qui peuvent être décodés rapidement (par rapport à ceux AG). En revanche, la théorie des codes BCH (contrairement à ceux AG) n'est pas assez profonde pour estimer exactement leurs paramètres. Plus précisément, pour calculer la distance minimale de certains codes BCH toriques non déployés, nous utilisons la théorie des courbes elliptiques sur des corps finis.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03229756 , version 1 (19-05-2021)
tel-03229756 , version 2 (26-05-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03229756 , version 2

Citer

Dmitrii Koshelev. Nouvelles applications des surfaces rationnelles et surfaces de Kummer généralisées sur des corps finis à la cryptographie à base de couplages et à la théorie des codes BCH. Géométrie algébrique [math.AG]. Université Paris-Saclay, 2021. Français. ⟨NNT : 2021UPASM001⟩. ⟨tel-03229756v2⟩
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