Approximation rationnelle de sous-espaces vectoriels - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2021

Rational approximation of linear subspaces

Approximation rationnelle de sous-espaces vectoriels

Résumé

Let A and B be two subspaces of ℝ^n of respective dimensions d and e with d+e≤n. The proximity between A and B is measured by t=min(d,e) canonical angles 0≤θ_1≤…≤θ_t≤π/2 ; we set ψ_j(A,B)=sin(θ _j). If B is a rational subspace, his complexity is measured by its height H(B)=covol(B∩ℤ^n). We are interested in the exponent of approximation µ_n(A|e)_j defined as the upper bound (possibly equal to +∞) of the set of ß>0 such that the inequality ψ_j(A,B)≤H(B)^(-ß) holds for infinitely many rational subspaces B of dimension e. We show for instance that the minimal value taken by µ_4(A|2)_1 is 3 when A ranges through the set of planes of ℝ^4 such that for all rational planes B one has A∩B={0}, and we prove a lower bound in the general case. We also show that if A is included in a rational subspace F of dimension k, its exponent in ℝ^n is the same as its exponent in ℝ^k via a rational isomorphism F->ℝ^k. This allows us to deduce new upper bounds. Finally, we study the values taken by µ_n(A|e)_e when A is a subspace of ℝ^n satisfying dim(A∩B)
Soient A et B deux sous-espaces vectoriels de ℝ^n de dimensions respectives d et e avec d+e≤n. La proximité entre A et B est mesurée par t=min(d,e) angles canoniques 0≤θ_1≤…≤θ_t≤π/2 ; on pose ψ_j(A,B)=sin(θ _j). Si B est un sous-espace rationnel, sa complexité est mesurée par sa hauteur H(B)=covol(B∩ℤ^n). On s'intéresse alors à l'exposant d'approximation µ_n(A|e)_j défini comme la borne supérieure (éventuellement égale à +∞) de l'ensemble des ß>0 tels que l'inégalité ψ_j(A,B)≤H(B)^(-ß) soit vérifiée pour une infinité de sous-espaces rationnels B de dimension e. On montre par exemple que la valeur minimale que prend µ_4(A|2)_1 est 3 lorsque A décrit l'ensemble des plans de ℝ^4 tels que pour tout plan rationnel B on ait A∩B={0}, et on minore cette quantité dans le cas général. On montre aussi que si A est inclus dans un sous-espace rationnel F de dimension k, son exposant dans ℝ^n est le même que son exposant dans ℝ^k via un isomorphisme rationnel F->ℝ^k, ce qui permet d'en déduire de nouvelles majorations. Enfin, on étudie les valeurs que peut prendre µ_n(A|e)_e lorsque A est un sous-espace de ℝ^n vérifiant dim(A∩B)
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03353114 , version 1 (23-09-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03353114 , version 1

Citer

Elio Joseph. Approximation rationnelle de sous-espaces vectoriels. Théorie des nombres [math.NT]. Université Paris-Saclay, 2021. Français. ⟨NNT : 2021UPASM014⟩. ⟨tel-03353114⟩
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