About the structure of some Galois modules over local fields
De quelques modules de Galois sur les corps locaux
Abstract
Let p be a prime number and \mathbf{k} a local field such that \mathbf{k} contains a primitive p-th root of unity denoted \xi_p. Set \mathbf{K}/\mathbf{k} a finite Galois p-extension. Let G denote its Galois group. Our main goal is to study the G-module structure of J(\mathbf{K})=\mathbf{K}^{\times}/\mathbf{K}^{\times p}. To do so, we use the theory of modules of constant Jordan type and we also compute the cohomology groups of G with coefficients in J(\mathbf{K}) under some hypothesis. Furthermore, when \mathbf{K}/\mathbf{k} is the maximal p-elementary abelian extension, we take profit of our study in order to compute some invariants which were previously introduced for p=2.
Soient p un nombre premier et \mathbf{k} un corps local contenant une racine primitive p-ième de l'unité notée \xi_p. Donnons-nous alors \mathbf{K}/\mathbf{k} une p-extension galoisienne finie de groupe de Galois G. Notre objectif premier est d'étudier la structure de G-module de J(\mathbf{K})=\mathbf{K}^{\times}/\mathbf{K}^{\times p}. Pour ce faire, nous utilisons les outils donnés par la théorie des modules de type de Jordan constant mais nous calculons aussi les groupes de cohomologie avec des coefficients dans J(\mathbf{K}), sous certaines hypothèses. De surcroît, lorsque \mathbf{K}/\mathbf{k} est l'extension p-élémentaire abélienne maximale, nous tirons profit de notre étude pour calculer quelques invariants pertinents précédemment introduits pour p=2.
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