Contribution à la méthode de Mahler : équations linéaires et automates finis - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

Contribution to the Mahler method : linear equations and finite automata

Contribution à la méthode de Mahler : équations linéaires et automates finis

Résumé

In this thesis, we investigate topics belonging to number theory, and especially to transcendental number theory. We aim to study the transcendence and algebraic independence of the values, at algebraic points, of the so-called Mahler functions. The latter are convergent power series satisfying equations of the form p0(z)f(z)+p1(z)f(zq)+ … +pm(z)f(zq^m)=0 where p0,…,pm are polynomials with algebraic coefficients and q>1 is an integer. In order to study these power series, we develop what is known as Mahler's method, a method initiated by Mahler in the late 1920's. Besides its theoretical interest, Mahler's method has applications regarding the complexity of expansions of real numbers in integer or algebraic bases. Indeed, Mahler functions whose coefficients belong to a finite set are precisely the generating series of automatic sequences. We broaden the scope of Mahler's method, completing the already well-advanced study of the transcendence and linear relations between q-Mahler functions evaluated at a given algebraic point. In particular, we prove a conjecture due to Cobham in 1968, stating that a Mahler function with rational coefficients cannot take algebraic irrational values at rational points. We also show that the algebraic relations between the values of q-Mahler functions at algebraic points all come from specializations of q-orbital functional relations, that is relations between these functions and their images under the iterated action of the map z → zq. In addition, we establish an algorithm that allows us to determine whether or not an arbitrary Mahler function takes a transcendental value at a given algebraic point. In the second part of the thesis, we develop the theory of multivariate regular singular Mahler systems, a generic class of linear Mahler systems. We obtain a general criterion of algebraic independence for the values at algebraic points of Mahler functions associated with such systems. We could summarize this criterion in the following way: transcendental values of Mahler functions associated with operators having pairwise multiplicatively independent spectral radius, or with multiplicatively independent algebraic points, are always algebraically independent
Cette thèse se situe dans le domaine de la théorie des nombres. Nous étudions la transcendance et l'indépendance algébrique des valeurs de fonctions mahlériennes en des points algébriques. Ce sont des séries entières convergentes solutions d'équations de la forme p0(z)f(z)+p1(z)f(zq)+ … +pm(z)f(zq^m)=0 avec p0,…,pm des polynômes à coefficients algébriques et q>1 un entier. Pour étudier ces fonctions, on utilise une méthode appelée méthode de Mahler, laquelle s'inscrit dans la grande famille des méthodes de transcendance. En plus d'un intérêt théorique important quant aux techniques de transcendance, la méthode de Mahler a des applications liées à la complexité du développement des nombres réels. En effet, les fonctions mahlériennes dont les coefficients appartiennent à un ensemble fini sont précisément les séries génératrices des suites automatiques. Nous élargissons le champ d'application de la méthode en parachevant l'étude, déjà bien entamée, de la transcendance des fonctions q-mahlériennes d'une variable, et des relations linéaires entre leurs valeurs, en un point algébrique. Nous démontrons notamment une conjecture de Cobham de 1968, énonçant le fait qu'une fonction mahlérienne à coefficients rationnels ne prend, aux points rationnels, que des valeurs rationnelles ou transcendantes. Nous montrons que les relations algébriques entre les valeurs de fonctions q-mahlériennes en un point algébrique proviennent, par spécialisation, d'une relation fonctionnelle q-orbitale, c'est-à-dire d'une relation entre ces fonctions et leurs images sous l'action répétée du morphisme z → zq. Nous établissons également un algorithme permettant de déterminer si la valeur d'une fonction mahlérienne en un point algébrique donné est un nombre transcendant ou pas. Nous développons ensuite la théorie des systèmes mahlériens réguliers singuliers de plusieurs variables, une classe générique de systèmes mahlériens. Nous en déduisons un critère général d'indépendance algébrique pour les valeurs de fonctions mahlériennes associées à de tels systèmes. Ce critère pourrait être résumé de la façon suivante: des valeurs transcendantes de fonctions mahlériennes associées à des opérateurs ayant des rayons spectraux multiplicativement indépendants deux à deux, ou des points algébriques multiplicativement indépendants, sont toujours algébriquement indépendantes
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03445819 , version 1 (24-11-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03445819 , version 1

Citer

Colin Faverjon. Contribution à la méthode de Mahler : équations linéaires et automates finis. Théorie des nombres [math.NT]. Université de Lyon, 2020. Français. ⟨NNT : 2020LYSE1162⟩. ⟨tel-03445819⟩
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