Totally invariant divisors of non trivial endomorphisms of the projective space
Diviseurs totalement invariants des endomorphismes non triviaux de l’espace projectif
Résumé
This thesis is devoted to the study of non isomorphic endomorphisms of the complex projective space and more specifically to their totally invariant subspaces (i.e. invariant by inverse image). A conjecture tells that these irreducible subspaces are necessarily linear; it is shown for smooth divisors on any dimension and for divisors of the 3-dimensional projective space. Although this question is motivated by holomorphic dynamics, we use tools from algebraic geometry to partially answer it. Let X be a prime divisor of the n-dimensional projective space which is totally invariant by a non isomorphic endomorphism. In this text, we show that X contains a curve of singularities by using the logarithmic cotangent sheaf and especially its Chern classes. Furthermore, by some elementary methods of projective geometry, we get that X is not a quadric.The study of this conjecture for 3-dimensional divisors puts us on the path of the second main question discussed in this thesis: the classification of cubics in the 4-dimensional projective space with canonical singularities whose singular locus contains a curve. For this purpose, we find some restrictions on a certain crepant modification X' of X which is a almost Fano threefold. Smooth almost threefolds are classified by Jahnke-Peternell-Radloff but in our case, X' has only canonical singularities. Since we show that most of the time X contains a linear plane, it becomes natural to study the blowup of a cubic along a linear plane and this provides even more informations on X.This classification result cans apply to the conjecture by the following manner: when n equals 4 and X is normal non Q-factorial then X contains a linear plane denoted P. Furthermore, if the plane P is Cartier outside of a finite number of points then it is totally invariant by an iterate of f.
Ce mémoire de thèse est consacré à l'étude des endomorphismes non inversibles de l'espace projectif complexe et plus précisément à leurs sous-espaces totalement invariants (i.e. invariant par image réciproque). Une conjecture énonce que de tels sous-espaces irréductibles sont linéaires ; celle-ci est démontrée pour les diviseurs lisses en toute dimension et pour les diviseurs de l’espace projectif de dimension 3. Bien que cette question soit motivée par des enjeux provenant de la dynamique holomorphe, nous faisons appel aux outils issus de la géométrie algébrique pour y répondre partiellement. Soit X un diviseur premier de l’espace projectif de dimension n totalement invariant par un endomorphisme non inversible f, on montre dans ce texte que X contient une courbe de singularités en utilisant le faisceau cotangent logarithmique de l'espace projectif et notamment grâce au calcul de ses classes de Chern. De plus, grâce à des méthodes élémentaires de géométrie projective, on obtient également que la variété X n’est pas une quadrique.L’étude de cette conjecture pour les diviseurs X de dimension 3 nous a mis sur la voie de la deuxième question principale abordée dans ce mémoire de thèse : la classification des cubiques de l’espace projectif de dimension 4 à singularités canoniques dont le lieu singulier contient une courbe. Pour cela, on obtient des restrictions sur une certaine modification crépante X' de X ; celle-ci est alors une variété presque Fano. Les variétés de Fano lisses de dimension 3 sont classifiées par Jahnke-Peternell-Radloff mais dans notre cas X' est seulement à singularités canoniques. Comme on montre que la plupart du temps X contient un plan linéaire, il devient naturel d'étudier l'éclatement d'une cubique le long d'un plan linéaire et ceci donne bien plus d'informations sur X.Ce résultat de classification s'applique à la conjecture énoncée plus haut de la manière suivante : lorsque n vaut 4 et X est normale non Q-factorielle alors X contient un plan linéaire noté P. Si de plus le plan P est Cartier en dehors d'un nombre fini de points alors il est lui-même totalement invariant par une itérée de f.
Mots clés
Projective space
Endomorphisms
Totally invariant locus
Canonical singularities
3-dimensional cubics
Almost Fano varieties
Intersection theory of normal surfaces
ADE surface singularities
Logarithmic cotangent sheaf
Chern classes
Q-factoriality
Pseudoeffective cone
Projective cone
Blowups
Crepant contraction
Small contraction
Divisor extraction
Espace projectif
Endomorphismes
Lieu totalement invariant
Singularités canoniques
Cubiques de dimension 3
Variétés presque Fano
Théorie de l'intersection sur les surfaces normales
Surfaces à singularités ADE
Faisceau cotangent logarithmique
Classes de Chern
Q-factorialité
Cône pseudo-effectif
Théorie de Mori
Cône projectif
Éclatements
Contraction crépante
Petite contraction
Extraction d'un diviseur
Origine : Version validée par le jury (STAR)