The growth rate of the number of periodic orbits for vector fields and uniform Diophantine approximation of beta-transformations - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2019

The growth rate of the number of periodic orbits for vector fields and uniform Diophantine approximation of beta-transformations

Taux de croissance du nombre d'orbites périodiques pour les champs de vecteurs et approximation diophantienne uniforme des bêta-transformations

Résumé

In this thesis, we study two problems in the dynamical systems. One concerns the relationship between the number of periodic orbits and the topological entropy of the vector fields. The other is on the size of the set of points whose orbits approximate a given point by some given speed in dollar betadollar -dynamical systems.For the first problem, we prove that for dollar C^1dollar -generic vector fields: the growth rate of the number of periodic orbits is greater than or equal to the topological entropy. This extends a classical result of Katok for dollar C^{1+alpha}(alpha>0)dollar surface diffeomorphisms to dollar C^1dollar -generic vector fields of any dimension. Comparing with discrete time dynamics, the main difficulty comes from the existence of singularities and the shear of the flow. By estimating the difference between the period of the periodic orbit and the recurrent time of the recurrent orbit, we improve Liao's shadowing lemma which is a basic tool to deal with the difficulty caused by singularities.For the second one, we consider the classical dollar betadollar -transformation dollar T_betadollar over the unit interval dollar [0,1]dollar . For two positive functions dollar psi_1dollar and dollar psi_2dollar defined on the set of natural numbers, let dollar mathcal{L}(psi_1)dollar be the set of points dollar xdollar in the interval dollar [0,1]dollar such that dollar T_beta^nx
Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes en systèmes dynamiques. L'un concerne la relation entre le nombre d'orbites périodiques des champs de vecteurs et l'entropie topologique des champs de vecteurs. L'autre concerne la taille de l'ensemble de tous les points dont les orbites se rapprochent d'un point donné avec une vitesse donnée dans les bêta-systèmes dynamiques.Pour le premier problème, nous démontrons que pour les champs de vecteurs dollar C^1dollar génériques : le taux de croissance du nombre d'orbites périodiques est supérieur ou égal à l'entropie topologique. Ceci étend un résultat classique de Katok pour des dollar C^{1+alpha}(alpha>0)dollar difféomorphismes de surface à des champs de vecteurs dollar C^1dollar génériques de toute dimension. En comparant avec la dynamique discrète, la difficulté principale provient de l'existence de singularités et du cisaillement du flux. En estimant la différence entre la période de l'orbite périodique et le temps récurrent de l'orbite récurrente, nous améliorons le lemme d'ombrage de Liao, qui est un outil fondamental pour traiter la difficulté causée par les singularités.Pour le second, nous considérons la bêta-transformation dollar T_betadollar sur l'intervalle dollar [0,1]dollar . Pour deux fonctions positives réelles dollar psi_1dollar et dollar psi_2dollar définies sur l'ensemble des entiers natures, notons dollar mathcal{L}(psi_1)dollar l'ensemble des points dollar xdollar dans l'intervalle dollar [0,1]dollar tels que dollar T_beta^n x
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03517013 , version 1 (07-01-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03517013 , version 1

Citer

Wanlou Wu. The growth rate of the number of periodic orbits for vector fields and uniform Diophantine approximation of beta-transformations. Dynamical Systems [math.DS]. Université Paris-Est; Soochow University (Suzhou, China), 2019. English. ⟨NNT : 2019PESC0098⟩. ⟨tel-03517013⟩
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