BPZ equations and integrability of Gaussian multiplicative chaos in Liouville conformal field theory - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

BPZ equations and integrability of Gaussian multiplicative chaos in Liouville conformal field theory

Équations de BPZ et intégrabilité du chaos multiplicatif gaussien dans la théorie conforme de Liouville

Résumé

Throughout this PhD thesis we will study two probabilistic objects, Gaussian multiplicative chaos (GMC) measures and Liouville conformal field theory (LCFT). The GMC measures were first introduced by Kahane in 1985 and have grown into an extremely important field of probability theory and mathematical physics. Very recently GMC has been used to give a probabilistic definition of the correlation functions of LCFT, a theory that first appeared in Polyakov's 1981 seminal work, "Quantum geometry of bosonic strings". Once the connection between GMC and LCFT is established, one can hope to translate the techniques of conformal field theory in a probabilistic framework to perform exact computations on the GMC measures. We start from the BPZ equations for LCFT, introduced by Belavin, Polyakov and Zamolodchikov in 1983. The mechanism of these equations is studied in the last part of this thesis and we prove the higher order BPZ equations with a general formalism. Following the probabilistic methods established by Kupiainen-Rhodes-Vargas for the resolution of the BPZ equations and after overcoming several major difficulties, we obtain non trivial relations for some fundamental objects of LCFT. More precisely, we prove the exact formulas for all the four structure constants of LCFT on the disk with null cosmological constant in the bulk, one of which was solved by Remy in 2017. As a special case, we find the distribution of the total mass of GMC on the interval with log-singularities put on both ends, a conjecture that has been independently predicted by Ostrovsky and by Fyodorov, Le Doussal, and Rosso in 2009. Another direct consequence is the law of the total mass of GMC on the unit circle with a log-singularity, conjectured by Ostrovsky in 2016.
Cette thèse de doctorat porte sur l'étude de deux objets probabilistes, les mesures de chaos multiplicatif gaussien (GMC) et la théorie conforme des champs de Liouville (LCFT). Le GMC fut introduit par Kahane en 1985 et il s'agit aujourd'hui d'un objet extrêmement important en théorie des probabilités et en physique mathématique. Très récemment le GMC a été utilisé pour définir les fonctions de corrélation de la LCFT, une théorie qui est apparue pour la première fois en 1981 dans le célèbre article de Polyakov, "Quantum geometry of bosonic strings". Grâce à ce lien établi entre GMC et LCFT, nous pouvons traduire les techniques de la théorie conforme des champs dans un langage probabiliste pour effectuer des calculs exacts sur les mesures de GMC. Nous partons des équations de BPZ pour LCFT, introduite par Belavin, Polyakov et Zamolodchikov en 1983. Le méchanisme de ces équations sera étudié vers la fin de cette thèse et nous prouvrons les équations de BPZ d'ordre supérieur avec un formalisme général. En développant les méthodes probabilistes établies par Kupiainen-Rhodes-Vargas pour la résolution des équations de BPZ et en traitant plusieurs difficultés majeures, nous obtiendront des relations non triviales sur les objets fondamentaux du LCFT. Plus précisément, nous prouvrons les formules exactes pour toutes les constantes de structure du LCFT sur le disque avec la constante cosmologique nulle à l'intérieur du disque, dont une parmi ces quatre a été résolue par Remy en 2017. Comme cas particulier, nous trouverons la distribution de la masse totale du GMC sur l'intervalle avec des log-singularités placées en deux extrémités, qui a été conjecturé indépendamment par Ostrovsky et par Fyodorov, Le Doussal, et Rosso en 2009. Une autre conséquence directe est la loi de la masse totale du GMC sur le cercle avec log-singularité en 1, conjecturé par Ostrovsky en 2016.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03521588 , version 1 (11-01-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03521588 , version 1

Citer

Tunan Zhu. BPZ equations and integrability of Gaussian multiplicative chaos in Liouville conformal field theory. General Mathematics [math.GM]. Université Paris sciences et lettres, 2020. English. ⟨NNT : 2020UPSLE034⟩. ⟨tel-03521588⟩
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