Tomographie de région d'intérêt par inversion numérique de la transformée de Hilbert tronquée - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2021

Region-of-interest tomographic reconstruction by numerical inversion of the truncated Hilbert transform

Tomographie de région d'intérêt par inversion numérique de la transformée de Hilbert tronquée

Résumé

X-ray imaging methods are based on the measurement of line integrals through an object. The set of line integrals measured for a given source position is called “projection”. The tomographic reconstruction problem is an inverse problem consisting in reconstructing the object from the set of its projections, and the classical theory of tomography has established procedures to perform analytical reconstructions from complete projections. However, some projections are sometimes not entirely measured, for instance when the scanner field-of-view does not completely encompass the object. A recent theoretical result shows that performing a “differentiated backprojection”, that is a backprojection of the derivative of the projections, allows to obtain the exact Hilbert transform of the object within the scanner field-of-view. The data thus obtained are not affected by the truncation of the projections. The tomographic reconstruction problem is then expressed as a set of truncated Hilbert transform inversions to be calculated along one-dimensional segments within the field-of-view. The position of each one-dimensional segment, relatively to the field-of-view and the object boundaries, determines how the truncated Hilbert transform can be inverted. Specifically, if both endpoints of the segment lie outside the object, an analytical inversion formula exists; if only one endpoint lies outside the object, an inverse exists, but no inversion formula is known to this day. This thesis studies the reconstruction of “one-endpoint segments”, that is segments that have only one endpoint outside the object. The first contribution introduces an inversion method based on the singular value decomposition of the truncated discrete Hilbert transform. This decomposition reveals a strong instability caused by singular values close to zero, which is partially corrected by replacing these singular values by an estimation. The singular value decomposition also allows to understand the origin of an artifact observed during the reconstruction of one-endpoint segments. The second contribution proposes a procedure that combines the previous method and the analytic inverse which is computed along two-endpoint segments. This procedure includes a simple operation to realign the two reconstructions, thus avoiding a discontinuity in the final reconstruction. The third contribution deals with the definition of criteria to establish which Hilbert direction to choose for the reconstruction of a given pixel. Two empirical criteria are proposed, one minimizing the length of the region of the segment outside the field-of-view, the other minimizing the artifact characteristic of one-endpoint segments. All the reconstruction methods introduced in this thesis allow the reconstruction of the entire object in the field-of-view as long as the problem is not interior. The benefits of each of these contributions were mainly evaluated on numerical simulations before application to patient data.
La tomodensitométrie est une méthode d’imagerie par rayons X basée sur la mesure d’intégrales de lignes à travers un objet. L’ensemble des intégrales mesurées pour une position donnée de la source est nommé « projection ». Le problème de reconstruction tomographique est un problème inverse consistant à reconstruire l’objet à partir de l’ensemble de ses projections, et la théorie classique de la tomographie a permis d’établir des procédures de reconstruction analytique à partir de projections complètes. Cependant, certaines projections ne sont parfois pas mesurées dans leur intégralité, par exemple lorsque le champ de vue du scanner n’englobe pas intégralement l’objet. Un résultat théorique récent montre que réaliser une « rétroprojection différenciée », c’est-à-dire rétroprojeter la dérivée des projections, permet d’obtenir la transformée de Hilbert exacte de l’objet au sein du champ de vue du scanner. Le problème de reconstruction tomographique s’exprime alors sous la forme d’inversions de transformées de Hilbert tronquées à calculer le long de segments unidimensionnels au sein du champ de vue. La position de chaque segment unidimensionnel par rapport au champ de vue et à l’objet détermine comment la transformée de Hilbert tronquée peut être inversée. Plus précisément, si les deux extrémités du segment se situent hors de l’objet, une formule d’inversion analytique existe ; si une seule extrémité se situe hors de l’objet, un inverse existe, mais aucune formule d’inversion n’est connue à ce jour. Cette thèse étudie la reconstruction de segments n’ayant qu’une seule extrémité hors de l’objet. La première contribution introduit une méthode d’inversion basée sur la décomposition en valeurs singulières de la transformée de Hilbert discrète et tronquée. Cette décomposition révèle une forte instabilité causée par certaines valeurs singulières proches de zéro, qui est partiellement corrigée en remplaçant ces valeurs singulières par des estimations. La décomposition en valeurs singulières permet également de comprendre l’origine d’un artéfact caractéristique observé lors de la reconstruction de segments n’ayant qu’une extrémité hors de l’objet. La deuxième contribution propose une procédure combinant la méthode précédente et l’inverse analytique calculable le long des segments où les deux extrémités sont en dehors de l’objet. Cette procédure inclut une opération simple permettant le réalignement des deux reconstructions. La troisième contribution porte sur la définition de critères cherchant à établir quelle direction de Hilbert choisir pour la reconstruction d’un pixel donné, et deux critères empiriques sont proposés. Toutes les méthodes de reconstruction introduites ici permettent de reconstruire l’intégralité de l’objet dans le champ de vue tant que le problème n’est pas intérieur. L’apport de chacune de ces contributions a été essentiellement évalué sur simulations numériques avant application à des données patient.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03546715 , version 1 (28-01-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03546715 , version 1

Citer

Aurélien Coussat. Tomographie de région d'intérêt par inversion numérique de la transformée de Hilbert tronquée. Imagerie médicale. Université de Lyon, 2021. Français. ⟨NNT : 2021LYSEI063⟩. ⟨tel-03546715⟩
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