Geometric models and applications to material media with defects
Modèles géométriques et applications à des milieux matériels avec défauts
Résumé
This dissertation focuses on studying mathematical modeling of the material with defects in the framework of differential geometries. Since it has been recognized for a long time, the defective media closely connects with Riemann-Cartan manifolds. Torsion and curvature tensors are being interpreted as densities of dislocations and disclinations, respectively. Our attention is thus paid to establishing such manifolds and investigating the evolution of defects during a transformation.
The two proposed models are based on different geometrical backgrounds, saying Riemann-Cartan geometry and Fiber bundle geometry. These approaches concern new kinds of material transformations that encompass the microcontinuum theories. Besides we focus only on smooth fields rather than multivalued fields used in existing theories. It leads that the numerical and theoretical analyses are easier to handle. Especially, the influence of the micro and macro mechanics are taken into consideration as a whole by introducing a so-called scaling factor. Special attention is given to transport along a finite path in order to extend the standard infinitesimal analysis of torsion and curvature to a macroscopical point of view.
Last, the present theories motivate several interesting problems in mathematics and mechanics.
Cette thèse porte sur l’étude de la modélisation mathématique d’un milieu matériel potentiellement défectueux dans le cadre de la géométrie différentielle. Il est couramment admis que la modélisation des milieux à défauts est étroitement en lien avec l’étude des variétés de Riemann-Cartan. Dans ce cadre, les tenseurs de torsion et de courbure sont interprétés comme des densités de dislocations et de disclinations. C’est la raison pour laquelle notre attention s’est concentrée sur la formulation de telles variétés mais aussi sur l’observation de l’évolution des défauts au cours d’une transformation.
Deux modèles sont présentés, ils sont basés sur une géométrie (de variétés) de Riemann-Cartan associée à une variété de base ou à une structure de fibré. La seconde approche possède des caractéristiques plus avantageuses dans le sens ou elle permet d’inclure
une large classe de matériaux en illustrant des phénomènes à plusieurs échelles. Comme, nous nous concentrons uniquement sur des
transformations lisses de variétés lisses les modèles s’adaptent facilement à une exploitation numérique. C'est l'occasion d'étudier numériquement et théoriquement comment l'introduction d'un facteur d'échelle permet de tenir compte de l'influence de la micro-structure sur la macro-structure. Enfin nous montrerons comment ces théoriesmotivent une nouvelle interaction entre les mathématiques et la mécanique.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)