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Theses Year : 2020

Spectrally positive additive Lévy fields and multi-types continuous branching processes

Champs de Lévy additifs spectralement positifs et processus de branchement multi-types continus

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Abstract

The discrete time and space branching processes (BP) have been introduced at the end of the XIXth century in order to study the extinction of a population. In the 1960’s, J. Lamperi and M. Jiřina generalise this BP to a continuous time and space setting (CBP). In 1967, J. Lamperti shows that the CBP can be represented with a spectrally positive Lévy process (spLp). The asymptotic behaviour of the CBP is characterized by the Laplace exponent of this spLp, called branching mechanism. This branching mechanism enables us to state the Grey’s condition which distinguishes the finite and infinite extinction of the CBP. In this thesis, we are interested in the multitypes CBP (MCBP) i.e. an individual bears a type which characterises its behaviour. A.E. Kyprianou, S. Palau, M. Barczy, G. Pap have studied the asymptotics of MCBP. Nevertheless, there was no multi-type Grey’s condition. In other words, we could not distinguish finite and infinite extinction in multi-type case. The aim of this works was to establish a multi-type Grey’s condition. To this end, we usedthe Lamperti representation which represents the CMBP with a particular Lévy field. In a first hand, we had to study the fluctuation theory of these fields in order to use its hitting time of negative levels. Finally, we established a multi-type Grey’s condition for a MCBP which characterize its extinction in terms of the ones of its diagonal CBP.
Les processus de branchement (PB) en temps et espaces discrets sont des objets mathématiques introduits dans la deuxième moitié du XIXe siècle afin d’étudier la potentielle extinction d’une population. Dans les années 1960, J. Lamperti et M. Jiřina étendent ces PB au temps et espace continus (PBC). En 1967, J. Lamperti montre que ces PBC peuvent être représentés à l’aide de processus de Lévy spectralement positif (PLsp). Le comportement asymptotique du PB peut alors être caractérisé par l’exposant de Laplace de ce PLsp, appelé mécanisme de branchement. Ce mécanisme de branchement donne lieu à la condition de Grey permettant de distinguer les extinctions en temps finies de celles à l’infini d’un PBC. Dans ce manuscrit, nous nous tournons vers les PBC multi-types (PBCM) i.e. nous distinguons les individus de la populations par un type déterminant leur comportement. A.E. Kyprianou, S. Palau, M. Barczy, G. Pap ont étudiés les asymptotiques de ces PBCM. Néanmoins, il n’y avait pas à ce jour de condition de Grey multi-types. Autrement dit, nous n’étions pas capables de distinguer les extinctions finies et infinies d’un PBCM. Le but de ces travaux de thèse a donc été d’établir une telle condition. Pour ce faire, nous avons utilisés la représentation de Lamperti multi-types représentant le PBCM par un certain champ de Lévy. Dans un premier temps, il nous a donc fallut étudier les fluctuations de ces champs afin de pouvoir étudier leurs temps d’atteinte de niveaux négatifs. Finalement, nous avons pu établir une condition de Grey multi-types caractérisant l’extinction du PBCM en fonction de celles de ses PBC diagonaux
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tel-03637078 , version 1 (11-04-2022)

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  • HAL Id : tel-03637078 , version 1

Cite

Marine Marolleau. Champs de Lévy additifs spectralement positifs et processus de branchement multi-types continus. Mathématiques générales [math.GM]. Université d'Angers, 2020. Français. ⟨NNT : 2020ANGE0074⟩. ⟨tel-03637078⟩
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