Bayesian algorithms in high dimension, application to cosmology - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2022

Bayesian algorithms in high dimension, application to cosmology

Algorithmes bayésiens pour la grande dimension, applications en cosmologie

Résumé

We receive a faint light from the sky. This light is not uniform on the map of the sky but presents anisotropies. From these anisotropies, we can deduce its power spectrum, which in turn allows us to determine the cosmological parameters of the universe. Assuming the statistical model generating the sky map is a hierarchical linear Gaussian model and adding a prior distribution on the parameters, we can make Bayesian inference on these parameters. This allows us not only to have point estimates of the parameters, but also error bars on these quantities. In order to make this inference, we further develop the usual Gibbs sampler used in the CMB data analysis literature. We propose a way to shorten the resolution of a very high dimensional system while keeping the target distribution invariant. We also offer an algorithm based on an auxiliary variable to get around this resolution. Finally, using the concepts of centered and non centered parametrization, we use an interweaving strategy to have good mixing properties on the entire signal-to-noise ratio range.The second project regards the compression of MCMC chains. Subsampling a Markov chain always increases the asymptotic variance of the resulting estimator. Hence we want to keep the points that are the most representative so that this variance does not increase too much. Using a survey sampling method and control variates, we propose a two steps procedure to keep the points that are the most representative of the target distribution out of a MCMC chain: first, we use control-variates in order to get an estimator which writes as a weighted sum of the chain. Then, we use the cube method to subsample the weighted chain we got at the end of the first step. We propose a way to deal with negative weights arising at the first step, which are incompatible with the cube method. We also provide two ways to build control-variates: one based on the Stein trick and the other one based on the Gibbs control variates. Hence, our method does not necessitate the availability of the score function.
Une très faible lumière nous parvient depuis le ciel. Celle-ci n'est pas uniformément répartie sur la carte du ciel mais présente des anistropies. En analysant ces anistropies, nous pouvons déduire son spectre de puissance, ce qui nous permet de déduire les paramètres de l'univers. En supposant que le modèle statistique de génération de ces anistropies soit un modèle hiéarchique linéaire Gaussien et en ajoutant une distribution a priori sur les paramètres, nous pouvons faire de l'inférence Bayésienne sur ces paramètres. Ceci nous permet d'avoir non pas seulement un estimateur ponctuel des paramètres mais aussi des barres d'erreur sur ces quantités. Afin de mener à bien cette inférence, nous reprenons et développons l'échantillonneur de Gibbs utilisé jusque là dans la littérature sur l'analyse du fond diffus cosmologique. Nous proposons un moyen de raccourcir le temps de résolution d'un système en très grande dimension tout en gardant la distribution cible invariante. Nous proposons également un algorithme basé sur une variable auxiliaire pour contourner cette résolution. Finalement, en présentant les paramétrisations centrée et non centrée, nous utilisons une stratégie d'interweaving afin d'avoir un algorithme mélangeant bien sur l'ensemble du ratio signal sur bruit.Le second projet concerne la compression des chaînes de MCMC. Sous-échantillonner une chaîne de Markov augmente toujours la variance asymptotique de l'estimateur obtenu. Nous voulons donc garder les points les plus représentatifs afin que cette variance asymptotique n'augmente pas trop. En utilisant une méthode d'échantillonnage pour des sondages et des "control variates", nous proposons une méthode en deux étapes afin de ne garder les points les plus représentatifs de la loi cible parmi une chaîne de MCMC: d'abord, nous utilisons des control-variates afin d'obtenir un estimateur s'écrivant comme une somme pondérée de la chaîne initiale. Ensuite, nous utilisons la méthode du cube afin de sous-échantillonner la chaîne pondérée obtenue à l'étape précédente. Nous proposons une façon de gérer les poids négatifs que la première étape peut donner. Nous proposons également deux façons d'avoir des control-variates: l'une, basée sur le "Stein trick" et la seconde, basée sur les control-variates de Gibbs. Ainsi, notre méthode ne nécessite pas la fonction de score.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03675230 , version 1 (23-05-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03675230 , version 1

Citer

Gabriel Ducrocq. Bayesian algorithms in high dimension, application to cosmology. Statistics [math.ST]. Institut Polytechnique de Paris, 2022. English. ⟨NNT : 2022IPPAG001⟩. ⟨tel-03675230⟩
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