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Theses Year : 2021

Teichmüller space of the frame bundle of a real hyperbolic 3-fold

Espace de Teichmüller du fibré des repères d’une 3-variété hyperbolique réelle

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Abstract

The aim of this thesis is to continue and generalize, using the global point of view offered by the fields, the local study made by Ghys concerning the deformations of complex structures of homogeneous spaces of SL2pCq.Ghys' local study of deformations of complex structures of SL2pCq homogeneous spaces.In this paper, the author shows that the deformation of the holonomy of the pSL2pCq ˆ SL2pCq, SL2pCq-structureof a quotient SL2pCq{Γ (where Γ is a discrete subgroup of SL2pCq, co-compact and torsion-free) allowsto construct a family of complex structures on this quotient. More precisely, he shows that theanalytic of the representation variety RpΓq of Γ in SL2pCq, pointed to the trivial morphism, determines theKuranishi space of SL2pCq{Γ. We show that by this same construction, the tautological family overRpΓq remains complete at every point corresponding to an admissible representation, i.e., one that corresponds tothe holonomy of a complete structure. Moreover, Kassel's work on the admissibility of these representationsallow us to state that the set of admissible representations RpΓq a constitutes an open of RpΓq. Notethat SL2pCq acts by conjugation on RpΓq a preserving equivalence classes of complex structures and,that, in general, the non-triviality of SL2pCq-orbits defeats the versa lity criterion of this family. Finally,the computation of the group of C 8-isotopic automorphisms at the identity, which corresponds to the isotropy group of acomplex structure in Teichmüller space, allows us to state that the quotient field RpΓq a { SL2pCq is an open subfield of the Teichmüller fieldopen subfield of the Teichmüller field of SL2pCq{Γ. Finally, let us note that the fibred of the markersof a closed hyperbolic compact variety V of dimension 3 is naturally identified with the quotient of PSL2pCq bya PSL2pCq-faithful and discrete representation of π1pV q. By a result of Thurston, this representation is alwaysalways to SL2pCq and so one can see the quotient SL2pCq{πČ1pV q as a dual covering of the fibred ofbenchmarks of V . This justifies the abundance of such spaces as well as the name given to this thesis
Cette thèse a pour but de poursuivre et de généraliser, en utilisant le point de vue global offert par les champs, l’étude locale faite par Ghys concernant les déformations des structures complexes des espaces homogènes de SL2pCq. Dans cet article, l’auteur montre que la déformation de l’holonomie de la pSL2pCq ˆ SL2pCq, SL2pCqq-structure complète d’un quotient SL2pCq{Γ (où Γ est un sous-groupe discret de SL2pCq, co-compact et sans torsion) permet de construire une famille de structures complexes sur ce quotient. Plus précisément, il montre que le germe ana lytique de la variété de représentation RpΓq de Γ dans SL2pCq, pointée au morphisme trivial, détermine l’espace de Kuranishi de SL2pCq{Γ. Nous montrons que par cette même construction, la famille tautologique au dessus de RpΓq reste complète en chaque point correspondant une représentation admissible, c’est-à-dire qui correspond à l’holonomie d’une structure complète. Par ailleurs, les travaux de Kassel sur l’admissibilité de ces représentations permettent d’affirmer que l’ensemble des représentations admissibles RpΓq a constitue un ou vert de RpΓq. Notons que SL2pCq agit par conjugaison sur RpΓq a en préservant les classes d’équivalence de structures complexes et, qu’en général, la non-trivialité des SL2pCq-orbites met en défaut le critère de versa lité de cette famille. Finalement, le calcul du groupe des automorphismes C 8-isotopes à l’identité, qui correspond au groupe d’isotropie d’une structure complexe dans l’espace de Teichmüller, permet d’affirmer que le champ quotient RpΓq a { SL2pCq est un sous-champ ou vert du champ de Teichmüller de SL2pCq{Γ. Pour ter miner, remarquons que le fibré des repères d’une variété V compacte hyperbolique fermée de dimension 3 s’identifie naturellement au quotient de PSL2pCq par une PSL2pCq-représentation fidèle et discrète de π1pV q. Par un résultat de Thurston, cette représentation se relève toujours à SL2pCq et on peut donc voir le quo tient SL2pCq{πČ1pV q comme un double revêtement du fibré des repères de V . Ceci justifie l’abondance de ces espaces ainsi que le nom donné à cette thèse.
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Dates and versions

tel-03692271 , version 1 (09-06-2022)

Identifiers

  • HAL Id : tel-03692271 , version 1

Cite

Théo Jamin. Espace de Teichmüller du fibré des repères d’une 3-variété hyperbolique réelle. Mathématiques générales [math.GM]. Université d'Angers, 2021. Français. ⟨NNT : 2021ANGE0041⟩. ⟨tel-03692271⟩
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