Left-invariant Lorentzian Einstein metrics on nilpotent Lie groups. - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2022

Left-invariant Lorentzian Einstein metrics on nilpotent Lie groups.

Métriques Lorentziennes d’Einstein Invariantes à Gauche sur Les Groupes de Lie Nilpotents.

Résumé

This thesis falls under the theme of pseudo-Riemannian geometry in the setting of Lie groups. Its purpose it to present a number of results on left-invariant Einstein Lorentzian metrics on nilpotent Lie groups as an extension of the well-known classical Riemannian case. The content of this thesis fits nicely in the subject literature since most of its results complete previous works that were initiated by many authors, some of which are even generalizations of earlier studies into broader contexts. The general outline can be divided into two major parts: The first part is concerned with the preliminaries of our study of Lorentzian left-invariant Einstein metrics on nilpotent Lie groups. The main theorem states that if the center of such a Lie group is degenerate then it must be Ricci-flat and its Lie algebra can be obtained by the double extension process from an abelian Euclidean Lie algebra. We also show that all nilpotent Lie groups up to dimension 5 endowed with a Lorentzian Einstein left-invariant metric have degenerate center and we use this fact to give a complete classification of these metrics. The second part can be seen as a starting point for the study of Einstein Lorentzian nilpotent Lie groups with non-degenerate center as it carries over the machinery previously developed in order to treat the case of 3-step nilpotent Lie groups. The principal theorem of this part is the classification of all Einstein Lorentzian 3-step nilpotent Lie groups with 1-dimensional non-degenerate center, its proof, while long and somewhat difficult, gives insight into many different properties and aspects that were not apparent before, and the techniques used for the proof seem promising for a future inspection.
Cette thèse se situe dans le cadre des groupes de Lie pseudo-Riemanniens. Son objectif est de présenter un nombre de résultats autour des métriques Lorentziennes d’Einstein sur les groupes de Lie nilpotents comme une extension du cas Riemannien classique. Le contenu de cette thèse est bien placé dans la littérature mathématique puisque la majorité des résultats mis en évidence donnent un contexte plus large à des travaux déjà initiés par plusieurs auteurs. Cette thèse comporte deux parties majeures : La première partie concerne les préliminaires de notre étude des métriques Lorentziennes d’Einstein invariantes à gauche sur les groupes de Lie nilpotents. Le théorème central affirme que si le centre d’un tel groupe de Lie est dégénéré alors il est forcément Ricci-plat et son algèbre de Lie peut être obtenue par le procédé de double extension à partir d’une algèbre de Lie Abélienne Euclidienne. On montre aussi que tous les groupes de Lie dimension inférieure ou égale à 5 munis d’une métrique Lorentzienne d’Einstein invariante à gauche possèdent un centre dégénéré, nous utilisons ce fait pour donner une classification complète de ces métriques. La deuxième partie peut être vue comme le début de l’étude des groupes de Lie nilpotents Lorentziens d’Einstein dont le centre est non dégénéré, nous utilisons ici la même machine précédemment développée afin de traiter le cas des groupes de Lie 3-step nilpotents. Le théorème principal de cette partie est la classification de tous les groupes de Lie 3-step nilpotents Lorentziens d’Einstein de centre unidimensionnel non dégénéré. La preuve de ce théorème permet d’éclaircir de nouveaux aspects de l’étude globale et les techniques utilisés permettent de s’ouvrir sur de nouvelles perspectives.
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Dates et versions

tel-03759766 , version 1 (24-08-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03759766 , version 1

Citer

Oumaima Tibssirte. Left-invariant Lorentzian Einstein metrics on nilpotent Lie groups.. Differential Geometry [math.DG]. Université Cadi Ayyad Marrakech (Maroc), 2022. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03759766⟩
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