Bord de Poisson de marches aléatoires sur les groupes et profils isopérimétriques - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2021

Poisson boundary of random walks on groups and isoperimetric profiles

Bord de Poisson de marches aléatoires sur les groupes et profils isopérimétriques

Résumé

We study random walks on groups, and more generally walks induced by measures on groups. We seek to understand their limit behaviour, in particular in terms of whether their Poisson boundary is trivial or not. We are specifically interested in measures on subgroups of H(ℤ), including Thompson's group F. The group H(ℤ) is the group of piecewise projective homeomorphisms over the integers defined by Monod. For a finitely generated subgroup H of H(ℤ), we prove that either H is solvable, or for every measure on H with finite first moment and support that generates H as a semigroup, the random walk on H has non-trivial Poisson boundary. In particular, we prove the non-triviality of the Poisson boundary of walks on Thompson's group F induced by measures, the support of which generates F as a semigroup and which have finite first moments. This answers a question by Kaimanovich. Consider a transitive action of a finitely generated group G and the Schreier graph Γ defined by this action for some fixed generating set. For a probability measure μ on a group with a finite first moment we show that if the induced random walk on Γ is transient, it converges towards the space of ends of Γ. As a corollary we obtain that for a probability measure with a finite first moment on Thompson's group F, the support of which generates F as a semigroup, the induced random walk on the dyadic numbers has a non-trivial Poisson boundary. Some assumption on the moment of the measure is necessary as follows from an example by Juschenko and Zheng. Additionally, we calculate the exact values of the Følner function of the lamplighter group ℤ≀ℤ/2ℤ for the standard and the switch-walk-switch generating sets. Følner functions encode the isoperimetric properties of amenable groups and have previously been studied up to asymptotic equivalence (that is to say, independently of the choice of finite generating set). We also obtain a lower bound for the Følner function for a class of permutational wreath products (with certain generating sets). We use that bound to construct an example of a group, the Følner function of which has the same exponent as its growth function. What is more, we prove an isoperimetric result concerning the edge boundary on the Baumslag-Solitar group BS(1,2) with the standard generating set.
On étudie les marches aléatoires sur les groupes, et plus généralement les marches induites par des mesures sur des groupes. On cherche à comprendre leur comportement à l'infini, surtout en terme du non-trivialité de leur bords de Poisson. On s'intéresse en particulier aux sous-groupes de H(ℤ), y compris le groupe de Thompson F. Le groupe H(ℤ) est le groupe des homéomorphismes projectifs par morceaux sur les entiers défini par Monod. Pour un sous-groupe H de H(ℤ) de type fini, on montre que soit H est résoluble, soit pour tout mesure sur H dont le premier moment est fini et le support engendre H en tant que semi-groupe, le bord de Poisson de la marche aléatoire sur H est non-trivial. En particulier, on démontre la non-trivialité du bord de Poisson des marches aléatoires sur le groupe de Thompson F pour les mesures sur F dont le support l'engendre en tant que semi-groupe et qui sont de premier moment fini. Cela réponde à une question de Kaimanovich. Considérons une action transitive d'un groupe G de type fini, et le graphe de Schreier Γ que cette action définit pour un ensemble générateur fixé. Pour une mesure de probabilité μ sur G de premier moment fini, on prouve que si la marche aléatoire induite sur Γ est transiente, alors elle converge vers un bout de Γ. On obtient comme corollaire que pour une mesure de probabilité de premier moment fini sur le groupe de Thompson F, dont le support engendre F en tant que semi-groupe, la marche aléatoire induite sur les nombres dyadiques a un bord de Poisson non-trivial. Il est nécessaire d'avoir une hypothèse sur le moment de la mesure d'après un résultat de Juscheno et Zheng. En outre, on calcule les valeurs exactes des fonctions de Følner sur le groupe d'allumeur de réverbères ℤ≀ℤ/2ℤ pour l'ensemble générateur standard et l'ensemble générateur «switch-walk-switch». Les fonctions de Følner encodent les propriétés isopérimétriques des groupes moyennables et ont été auparavant étudiées à équivalence asymptotique prêt (autrement dit, de façon indépendante du choix d'ensemble générateur fini). On obtient aussi une borne inférieure pour les fonctions de Følner d'une classe de produits en couronnes permutationnels (avec certains ensembles générateurs). On l'utilise pour construire une exemple de groupe dont la fonction de Følner a la même exponente que sa fonction de croissance. De plus, on démontre un résultat isopérimétrique par rapport au bord sur les arrêtes sur le groupe de Baumslag-Solitar BS(1,2) avec l'ensemble générateur standard.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03854377 , version 1 (15-11-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03854377 , version 1

Citer

Bogdan Stankov. Bord de Poisson de marches aléatoires sur les groupes et profils isopérimétriques. Mathématiques générales [math.GM]. Université Paris sciences et lettres, 2021. Français. ⟨NNT : 2021UPSLE029⟩. ⟨tel-03854377⟩
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