Compactification des espaces de modules en géométrie torique quantique - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2022

Compactification of moduli spaces in quantum toric geometry

Compactification des espaces de modules en géométrie torique quantique

Antoine Boivin
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1074288
  • IdRef : 267499930

Résumé

This thesis aims to continue the study of quantum toric stacks introduced by L.Katzarkov, E.Lupercio, L.Meersseman, A.Verjovsky. These are Artin analytic stacks defined by gluings, described by the (not necessarily rational) cones of a fan of R d, of quotients of an affine space by a finitely gener ated subgroup of R d. Unlike toric varieties which are rigid because of the rationality of the fans defining them, quantum toric stacks can be deformed contin uously. In their papers, they extended the geometric combinatorial equivalence of toric varieties to quantum toric stacks defined by a simplicial fan. Using this, they defined and studied moduli spaces of toric stacks with fixed fan combinatorics. First, we show that these moduli spaces are the quo tient of a semi-algebraic open subset by a finite group and that they are the basis of a universal family of toric quantum stacks. We then propose a construction of a combinatorial compactification of these moduli spaces, thanks to a embedding in a Grassmannian manifold, with an extension of the universal family which is de scribed by the degeneracies of the initial combinatorics. In a second step, we extend the construction of toric quantum stacks to an arbitrary fan and prove that this extends the geometry-combinatorics equivalence previously mentioned. Thanks to this, we can use the secondary fans introduced by I. Gelfand, M. Kapranov, A. Zelevinsky in the quantum framework. This allows us to describe wall-crossings between toric quantum stacks of different combinatorics. Thus this defines bi rational morphisms between them (which can also be described combinatorially). The flexibility of the quantum framework even allows us to get continuous families between two toric stacks connected by a wall-crossing which passes through a toric quantum stack given by a non-simplicial fan (the "wall"). All this allows us to define an "augmented moduli space" defined by two parameters: the first one parametrizing the generators of the fan cones (when fixed, we move in the secondary fan) and the second one parametrizing the combinatorics (when fixed, we move in the moduli spaces). The work on the compactification of moduli spaces also allows us to compactify this augmented moduli space with its universal family.
Le but de cette thèse est de continuer l’étude des champs toriques quantiques introduits par L. Katzarkov, E. Lupercio, L. Meersseman, A.Verjovsky. Ce sont des champs analytiques d’Artin définis grâce aux recollements, décrits par les cônes (non nécessairement rationnels) d’un éventail de Rd, de quotients d’un espace affine par un sous-groupe finiment engendré de Rd. Contrairement aux variétés toriques qui sont rigides à cause de la rationalité des éventails les définissant, les champs toriques quantiques peuvent être déformés continûment. Dans leurs articles, ils ont étendu l’équivalence géométrie-combinatoire des variétés toriques aux champs toriques quantiques définis par un éventail simplicial. En utilisant cela, ils ont défini et étudié les espaces de modules des champs toriques à combinatoire de l’éventail fixé. Dans un premier temps, nous montrons que ces espaces de modules sont le quotient d’un ouvert semi-algébrique par un groupe fini et qu’ils sont la base d’une famille universelle de champs toriques quantiques. Nous proposons ensuite une construction d’une compactification combinatoire de ces espaces de modules, grâce à un plongement dans une variété grassmannienne, avec une extension de la famille universelle qui est décrite par les dégénérescences de la combinatoire initiale. Dans un deuxième temps, nous étendons la construction de champs toriques quantiques à des éventails quelconques et montrons que cela étend l’équivalence géométrie-combinatoire précédemment citée. Grâce à cela, nous pouvons utiliser les éventails secondaires introduits par I. Gelfand, M. Kapranov, A. Zelevinsky dans le cadre quantique. Cela permet de décrire des passages de murs entre champs toriques quantiques de combinatoire différente. Cela définit donc des morphismes birationnels entre eux (que l’on peut aussi décrire de façon combinatoire). La souplesse du cadre quantique nous permet même d’obtenir des familles continues entre deux champs toriques reliés par un passage de murs qui passe par un champ torique donné par un éventail non-simplicial (le « mur »). Tout cela nous permet de définir un « espace de modules augmenté » défini par deux paramètres : le premier paramétrant les générateurs des cônes de l’éventail (lorsqu’on le fixe, on bouge dans l’éventail secondaire) et le deuxième paramétrant la combinatoire (lorsqu’on le fixe, on bouge dans les espaces de modules). Le travail sur la compactification des espaces de modules nous permet aussi de compactifier cet espace de modules augmenté avec sa famille universelle.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04006185 , version 1 (27-02-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04006185 , version 1

Citer

Antoine Boivin. Compactification des espaces de modules en géométrie torique quantique. Combinatoire [math.CO]. Université d'Angers, 2022. Français. ⟨NNT : 2022ANGE0047⟩. ⟨tel-04006185⟩
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