Interactions between algorithms, geometry and topology in low dimensions - TEL - Thèses en ligne
Habilitation À Diriger Des Recherches Year : 2022

Interactions between algorithms, geometry and topology in low dimensions

Interactions entre les algorithmes, la géométrie et la topologie en basse dimension

Arnaud de Mesmay

Abstract

This habilitation thesis presents an overview of my research activities since the defense of my PhD Thesis. The common theme underlying most of my work is the investigation of the interactions between the algorithmic, geometric and topological properties of a mathematical object. The focus is on low dimensions: graphs and their embeddings on surfaces, as well as knots and 3-dimensional topology. This document showcases three lines of work that I have developed with multiple co-authors over the course of several years. The first one deals with a problem of surface decomposition: what is the best way to cut a surface into a disk? By duality, this problem is related to the algorithmic problem M ULTICUT for embedded graphs, asking for the best way to cut a graph so as to separate a specified set of pairs of terminals. We leverage topological algorithms to provide approximation schemes for both problems, and dually we develop new tools to establish lower bounds for computational problems involving embedded graphs, including these two. We then turn our attention towards the problem of computing optimal homotopies, i.e., homotopies where the length of the longest curve is minimized. Their study is motivated by questions coming both from Riemannian and computational geometry. We prove strong results on the structure of optimal homotopies, valid in both the discrete and the continuous setting, and leverage those to provide improved algorithms to compute optimal homotopies exactly or approximatively, as well as to draw connections with graph minor theory. In a third step, we present a family of computational hardness results for various problems in knot theory and 3-dimensional topology. Most importantly we prove the NP-hardness for the problem of deciding embeddability of simplicial complexes in R3 and for the problem of optimally untangling a diagram of the unknot. We then survey more succinctly some other contributions pertaining to shortest path embeddings of graphs on surfaces, curve tightening and electrical transformations, treewidth of knot diagrams and the crossing number of links. We conclude with some perspectives and future research directions.
Ce mémoire d’habilitation présente un panorama de mes activités de recherche depuis ma soutenance de thèse. Le thème commun à tous mes travaux est l’étude des interactions entre les propriétés algorithmiques, géométriques et topologiques d’objets mathématiques de basse dimension, tels que les graphes et leurs plongements sur les surfaces, ainsi que les nœuds et les 3-variétés. Ce document présente principalement trois séries de travaux que j’ai menés avec de nombreux co-auteurs sur plusieurs années. La première traite de problèmes de décompositions de surfaces : quelle est la façon optimale de découper une surface en un disque ? Par dualité, ce problème est relié au problème algorithmique Multicut pour les graphes plongés, qui vise à calculer la meilleure façon de découper un graphe pour séparer un ensemble de paires de terminaux. Nous utilisons des algorithmes topologiques pour obtenir des schémas d’approximation pour ces deux problèmes, et parallèlement nous développons de nouvelles techniques pour prouver des bornes inférieures algorithmiques pour des problèmes sur des graphes plongés, en particulier ces deux-ci. Ensuite, nous nous intéressons au problème de calculer une homotopie optimale, c’est-à-dire où la longueur maximale des courbes est minimisée. L’étude de telles homotopies est motivée par des considérations à la fois mathématiques et plus appliquées. Nous établissons des propriétés structurelles fortes sur ces homotopies optimales, valables à la fois dans un contexte riemannien et discret, qui nous permettent d’obtenir des algorithmes pour les calculer, aussi bien de façon exacte qu’approchée. Nous établissons aussi des liens avec la théorie des mineurs de graphes. Dans un troisième temps, nous présentons une famille de résultats de difficulté algorithmique pour des problèmes en théorie des nœuds et en topologie de dimension trois. En particulier nous prouvons la NP-difficulté du problème de décider la plongeabilité de complexes simpliciaux dans R3 , ainsi que du problème de démêler un nœud trivial en un nombre minimal de mouvements. Nous exposons ensuite de façon plus succincte d’autres contributions, sur les plongements par plus courts chemins de graphes sur les surfaces, le raccourcissement des courbes et les transformations électriques, la largeur d’arborescence des diagrammes de nœuds et le nombre de croisements d’entrelacs. Nous concluons avec quelques perspectives et directions de recherche ultérieures.
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Dates and versions

tel-04418597 , version 1 (26-01-2024)
tel-04418597 , version 2 (27-02-2024)

Licence

Identifiers

  • HAL Id : tel-04418597 , version 2

Cite

Arnaud de Mesmay. Interactions between algorithms, geometry and topology in low dimensions. Computational Geometry [cs.CG]. Paris Est Sup, 2022. ⟨tel-04418597v2⟩
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