Mod p Langlands program and local-global compatibility for GL₂ - TEL - Thèses en ligne
Thèse Année : 2024

Mod p Langlands program and local-global compatibility for GL₂

Programme de Langlands modulo p et compatibilité local-global pour GL₂

Yitong Wang
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1399116
  • IdRef : 279279957

Résumé

This thesis is devoted to the mod p Langlands program for GL₂. In the first part, I study the Gelfand-Kirillov dimension of the representations π coming from the mod p cohomology of Shimura curves. Let p be a prime number and F a totally real number field unramified at places above p. Let r be a two-dimensional modular mod p representation of the Galois group of F that satisfies the Taylor-Wiles hypothesis and some technical genericity assumptions. For v a fixed place of F above p, we prove that many of the admissible smooth mod p representations of GL₂(Fᵥ) associated to r in the corresponding Hecke-eigenspaces of the mod p cohomology have Gelfand-Kirillov dimension [Fᵥ:Qp]. This builds on and extends the work of Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen and Hu-Wang, giving a unified proof in all cases (r either semisimple or not at v). In the second part, I study the étale (phi,Gamma)-modules D_A(π) associated to the representations π coming from the mod p cohomology of Shimura curves and compute there ranks. Let K be a finite unramified extension of Qp. For π an admissible smooth mod p representation of GL₂(K) satisfying certain multiplicity-one properties, we compute the rank of the associatedétale étale (phi,Gamma)-modules D_A(π) defined by Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen, extending their results. In the third part, I study the local-global compatibility properties of the étale (phi,Gamma)-modules D_A(π). For ⍴ any reducible two-dimensional mod p representation of the Galois group of K, we compute explicitly the associated étale (phi,Gamma)-module D_A(⍴) defined by Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen. Then we let π be an admissible smooth mod p representation of GL₂(K) occurring in some Hecke eigenspaces of the mod p cohomology and ⍴ be its underlying two-dimensional mod p representation of the Galois group of K. Assuming that ⍴ is maximally non-split, we prove under some genericity assumption that the associated étale (phi,Gamma)-module D_A(π) defined by Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen is isomorphic to D_A(⍴). This extends their results, where ⍴ was assumed to be semisimple.
Cette thèse est consacrée au programme de Langlands modulo p pour GL₂. Dans la première partie, j'étudie la dimension de Gelfand-Kirillov des représentations π provenant de la cohomologie modulo p des courbes de Shimura. Soit p un nombre premier et F un corps de nombres totalement réel non ramifié en des places divisant p. Soit r une représentation modulo p modulaire de dimension 2 du groupe de Galois de F qui satisfait l'hypothèse de Taylor-Wiles et quelques hypothèses techniques de généricité. Pour v une place fixée de F divisant p, on montre que de nombreuses représentations modulo p lisses admissibles de GL₂(Fᵥ) associées à r dans les espaces propres de Hecke correspondants de la cohomologie modulo p ont une dimension de Gelfand-Kirillov [Fᵥ:Qp]. Ceci s'appuie sur et étend les travaux de Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen et de Hu-Wang, en donnant une preuve unifiée pour tous les cas (r semisimple ou non à v). Dans la deuxième partie, j'étudie les (phi,Gamma)-modules étales D_A(π) associés aux représentations π provenant de la cohomologie modulo p des courbes de Shimura. Soit K une extension finie non ramifiée de Qp. Pour π une représentation modulo p lisse admissible de GL₂(K) satisfaisant certaines propriétés de multiplicité un, je calcule le rang du (phi,Gamma)-module étale D_A(π) associé défini par Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen, ce qui étend leurs résultats. Dans la troisième partie, j'étudie les propriétés de compatibilité local-global des (phi,Gamma)-modules étales D_A(π). Pour ⍴ une représentation modulo p réductible quelconque de dimension 2 du groupe de Galois de K, je calcule explicitement le (phi,Gamma)-module étale D_A(⍴) défini par Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen. Ensuite, soit π une représentation modulo p lisse admissible de GL₂(K) apparaissant dans certains espaces propres de Hecke de la cohomologie modulo p et ⍴ sa représentation modulo p sous-jacente de dimension 2 du groupe de Galois de K. En supposant que ⍴ est maximalement non-scindée, je montre sous certaines hypothèses de généricité que le (phi,Gamma)-module étale D_A(π) défini par Breuil-Herzig-Hu-Morra-Schraen est isomorphe à D_A(⍴). Ceci étend leurs résultats, où ⍴ était supposé semisimple.
Fichier principal
Vignette du fichier
135315_WANG_2024_archivage.pdf (2.13 Mo) Télécharger le fichier
Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04641785 , version 1 (09-07-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04641785 , version 1

Citer

Yitong Wang. Mod p Langlands program and local-global compatibility for GL₂. Number Theory [math.NT]. Université Paris-Saclay, 2024. English. ⟨NNT : 2024UPASM014⟩. ⟨tel-04641785⟩
42 Consultations
29 Téléchargements

Partager

More