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            <abstract xml:lang="en">
              <p>This thesis provides an in-depth analysis of the learning of elementary algebra by Lebanese students at the point where they first engage with this learning. It examines how these students produce and interpret algebraic expressions intended to model relationships between geometric quantities, with a focus on the obstacles they encounter and the underlying thought processes. Situated within the field of mathematics education, it draws on the theoretical framework of frame changes and conversions between registers of representation to shed light on the transitions from arithmetic to algebra.The empirical study is based on two successive questionnaires administered to a representative sample of students, together with a detailed analysis of a collective correction session that was fully recorded and transcribed. The tasks proposed to the students are graded to reflect increasing complexity, progressing from simple additive relationships to multiplicative and mixed ones. Quantitative analysis highlights high success rates on additive tasks and markedly greater difficulties with multiplicative and mixed tasks, confirming the existence of a critical threshold in the entry into algebra.The qualitative study of erroneous productions reveals characteristic implicit modes of reasoning, such as confusion between “two times x” and “x²,” assimilation of additive repetition to exponentiation, or partial interpretation of graphical codings of quantities. The analysis of the correction session underscores the ambivalent role of teacher language, which, depending on its formulation, can either support the construction of meaning or reinforce misconceptions.By combining quantitative and qualitative perspectives, this research contributes to a deeper understanding of students’ cognitive and linguistic processes and offers concrete avenues for designing teaching situations that foster the articulation between visual, symbolic and verbal registers, particularly in a school context marked by challenging learning conditions.</p>
            </abstract>
            <abstract xml:lang="fr">
              <p>Cette thèse analyse de manière approfondie l’apprentissage de l’algèbre élémentaire par des élèves libanais au moment où ils abordent pour la première fois cet apprentissage. Elle s’intéresse à la façon dont ces élèves produisent et interprètent des expressions algébriques destinées à modéliser des relations entre grandeurs géométriques, en mettant l’accent sur les obstacles rencontrés et sur les processus de pensée sous-jacents. Inscrite dans le champ de la didactique des mathématiques, elle mobilise le cadre théorique des changements de cadre et des conversions entre registres de représentation pour éclairer les transitions opérées entre l’arithmétique et l’algèbre. L’expérimentation s’appuie sur deux questionnaires successifs administrés à un échantillon représentatif d’élèves ainsi que sur l’analyse d’une séance de correction collective, intégralement enregistrée et retranscrite. Les tâches proposées aux élèves sont graduées de manière à faire évoluer la complexité des situations : elles vont des relations additives simples aux relations multiplicatives et mixtes. L’analyse quantitative met en évidence des taux de réussite élevés dans les tâches additives et des difficultés nettement accrues dans les tâches multiplicatives et mixtes, confirmant l’existence d’un seuil critique dans l’entrée en algèbre. L’étude qualitative des productions erronées révèle des fonctionnements implicites caractéristiques, tels que la confusion entre « deux fois �� » et « ��² », l’assimilation de la répétition additive à l’exponentiation ou encore l’interprétation partielle des codages graphiques sur les grandeurs. L’analyse de la séance de correction souligne le rôle ambivalent du langage de l’enseignant, qui peut selon ses formulations soutenir la construction du sens ou au contraire renforcer des conceptions erronées. En offrant un éclairage croisé quantitatif et qualitatif, cette recherche contribue à mieux comprendre les processus cognitifs et langagiers des élèves et propose des pistes concrètes pour concevoir des situations d’enseignement favorisant l’articulation entre registres visuel, symbolique et langagier, particulièrement dans un contexte scolaire marqué par des conditions d’apprentissage difficiles.</p>
            </abstract>
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