A probabilistic point of view for the Kolmogorov hypoelliptic equations
Résumé
In this work, we propose a method for solving Kolmogorov hypoelliptic equations based on Fourier transform and Feynman-Kac formula. We first explain how the Feynman-Kac formula can be used to compute the fundamental solution to parabolic equations with linear or quadratic potential. Then applying these results after a Fourier transform we deduce the computation of the solution to a a first class of Kolmogorov hypoelliptic equations. Then we solve partial differential equations obtained via Feynman-Kac formula from the Ornstein-Uhlenbeck generator. Also, a new small time approximation of the solution to Kolmogorov hypoelliptic equations is provided. We finally present the results of numerical experiments to check the practical efficiency of this approximation.
Dans ce travail, nous proposons une méthode de résolution des équations hypoelliptiques de Kolmogorov basée sur la transformée de Fourier et la formule de Feynman-Kac. Nous expliquons d'abord comment la formule de Feynman-Kac peut être utilisée pour calculer la solution fondamentale des équations paraboliques à potentiel linéaire ou quadratique. Puis en appliquant ces résultats après une transformée de Fourier, nous déduisons le calcul de la solution d'une première classe d'équations hypoelliptiques de Kolmogorov. Ensuite, nous résolvons des équations aux dérivées partielles obtenues via la formule de Feynman-Kac à partir du générateur d'Ornstein-Uhlenbeck. De plus, une nouvelle approximation en temps petit de la solution d'une certaine classe d' équations hypoelliptiques de Kolmogorov est établie. Nous présentons enfin les résultats d'expériences numériques pour vérifier l'efficacité pratique de cette approximation.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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