3.1 Corrélation des champs reçus par deux antennes

Quelque soit la géométrie du réseau d'antenne d'un radiomètre imageur à synthèse d'ouverture, le dispositif élémentaire est formé par un couple d'antennes dont la corrélation des signaux va fournir une mesure du degré de cohérence spatiale à la fréquence angulaire déterminée par la distance entre les antennes. La démonstration suivante, qui dans un premier temps ne fait pas intervenir les caractéristiques instrumentales, permet d'établir, pour ce couple d'antenne, le théorème de VAN CITTERT-ZERNIKE reliant la visibilité $V$ à la distribution spatiale d'intensité $T_b$ .

Le champ électromagnétique résultant de la présence d'une distribution de charge alternative $\epsilon$ placée en $\overrightarrow{\rho}_i$ est mesurée par une antenne placée en $\overrightarrow{r}_i$ (voir Fig. 3.1). Sous les hypothèses suivantes :

- la polarisation du champ est ignorée : le champ $E$ est considéré comme une quantité scalaire (cette supposition n'est pas nécessaire mais rend la démonstration plus claire),
- le champ résulte uniquement d'une distribution surfacique de charges,
- le principe de Huygens est appliqué (l'amplitude du champ varie en $\vert \overrightarrow{\rho}_i-\overrightarrow{r}_i \vert ^{-1}$ et sa phase dépend du chemin parcouru de la source à la réception),

le champ $E$ mesuré en $\overrightarrow{r}_i$ est de la forme :

$$E(\overrightarrow{r}_i) = \int_{S_i} \epsilon (\overrightarrow{\r... ...}}}{\vert \overrightarrow{\rho}_i-\overrightarrow{r}_i \vert } dS_i,\quad i=1,2$$ (3.1)

La corrélation des champs mesurés en $\overrightarrow{r}_1$ et $\overrightarrow{r}_2$ est alors :

$$V(\overrightarrow{r}_1,\overrightarrow{r}_2) = \left<E(\overrightarrow{r}_1) E^*(\overrightarrow{r}_2) \right>$$ (3.2)

$$V(\overrightarrow{r}_1,\overrightarrow{r}_2) = \iint \left<\epsilon (\overrightarrow{\rho}_1) \epsilon ^*(\overr... ...ambda}}}{\vert \overrightarrow{\rho}_2-\overrightarrow{r}_2 \vert } \ dS_1 dS_2$$ (3.3)

La source est supposée spatialement incohérente, ce qui implique que $\left<\epsilon (\overrightarrow{\rho}_1) \epsilon ^*(\overrightarrow{\rho}_2)\right> \neq 0$ uniquement pour $\overrightarrow{\rho}_1 = \overrightarrow{\rho}_2 = \overrightarrow{\rho}$ , soit :

$$V(\overrightarrow{r}_1,\overrightarrow{r}_2) = \int_S \left<\vert... ...t }{\lambda}}}{\vert \overrightarrow{\rho}-\overrightarrow{r}_2 \vert } \ dS\\$$ (3.4)

La géométrie du dispositif étudié, illustré par la figure , permet d'établir les relations suivantes :

$$\vert {\overrightarrow{\rho}}-{\overrightarrow{r}_i} \vert = \sqrt{\rho^2+r_i^2-2\overrightarrow{\rho}.\overrightarrow{r}_i}$$ (3.5)

$$\vert {\overrightarrow{\rho}}-{\overrightarrow{r}_i} \vert = \rho \sqrt{1+\left(\frac{r_i}{\rho} \right)^2-2\frac{\overrightarrow{\rho}.\overrightarrow{r}_i}{\rho^2}}$$ (3.6)

Or, la distance à la source est beaucoup plus grande que la distance entre les antennes, $\rho >> r_i$ :

$$\vert {\overrightarrow{\rho}}-{\overrightarrow{r}_i} \vert \approx \rho + \frac{r_i^2}{2\rho} - \frac{\overrightarrow{\rho}.\overrightarrow{r}_i}{\rho} \, ,$$ (3.7)

ce qui conduit à :

$$\vert {\overrightarrow{\rho}}-{\overrightarrow{r}_1} \vert - \vert {\overrightarrow{\rho}}-{\overrightarrow{r}_2} \vert = \frac{r_1^2-r_2^2}{2\rho} + \frac{1}{\rho}(\overrightarrow{\rho}.\overrightarrow{r}_2- \overrightarrow{\rho}.\overrightarrow{r}_1).$$ (3.8)

et à :

$$\vert \overrightarrow{\rho}-\overrightarrow{r}_1 \vert \vert \overrightarrow{\rho}-\overrightarrow{r}_2 \vert = \rho^2$$ (3.9)

En remarquant que $r_1^2=r_2^2=d^2$ , l'expression 3.8 se simplifie :

$$\vert {\overrightarrow{\rho}}-{\overrightarrow{r}_1} \vert - \vert {\overrightarrow{\rho}}-{\overrightarrow{r}_2} \vert = \frac{1}{\rho}(\overrightarrow{\rho}.\overrightarrow{r}_2- \overrightarrow{\rho}.\overrightarrow{r}_1).$$ (3.10)

Il reste alors à exprimer les deux produits scalaires :

$$\overrightarrow{\rho}.\overrightarrow{r}_1 = \frac{1}{2}\left(\rho^2 + r_1^2 - \rho_1^2 \right)$$ (3.11)

$$\textrm{avec}~\rho_1^2 = H^2 \left[1+\frac{(x+d_1/2)^2}{H^2}+\frac{(d_2/2-y)^2}{H^2} \right]$$ (3.12)

$$\overrightarrow{\rho}.\overrightarrow{r}_2 = \frac{1}{2}\left(\rho^2 + r_2^2 - \rho_2^2 \right)$$ (3.13)

$$\textrm{avec}~\rho_2^2 = H^2 \left[1+\frac{(x-d_1/2)^2}{H^2}+\frac{(d_2/2+y)^2}{H^2} \right]$$ (3.14)

ce qui conduit à :

$$\frac{1}{\rho}(\vert {\overrightarrow{\rho}}-{\overrightarrow{r}_1} \vert - \vert {\overrightarrow{\rho}}-{\overrightarrow{r}_2} \vert ) = (d_1/2+x)^2 - (d_1/2-x)^2 + (d_2/2-y)^2 - (d_2/2+y)^2$$ (3.15)

$$\frac{1}{\rho}(\vert {\overrightarrow{\rho}}-{\overrightarrow{r}_1} \vert - \vert {\overrightarrow{\rho}}-{\overrightarrow{r}_2} \vert ) = \frac{(-(d_1x+d_2y)}{\rho}$$ (3.16)

Le report des deux résultats 3.17 et 3.9 dans la relation 3.4 conduit à l'expression suivante de la corrélation des champs reçus par les deux antennes :

$$V(\overrightarrow{r}_1,\overrightarrow{r}_2) = \int_S \left<\vert... ... ^2\right> \frac{\mbox{e}^{-2j\pi\frac{(d_1x+d_2y)}{\lambda\rho}}}{\rho^2} \ dS$$ (3.17)

Les définitions suivantes sont introduites : fréquences spatiales angulaires, ligne de base, cosinus directeurs - les quantités $u = \frac{d_1}{\lambda}$ et $v = \frac{d_2}{\lambda}$ sont des fréquences spatiales angulaires, avec $d_1$ et $d_2$ les projections du vecteur liant les deux antennes sur les axes du référentiel attaché à l'instrument et $\lambda$ la longueur d''onde d'observation

- le couple $(u,v)$ est appelé ligne de base

- $\xi = \sin \theta \cos \phi$ et $\eta = \sin \theta \sin \phi$ sont appelés cosinus directeurs En introduisant $d\Omega = \frac{dS}{\rho^2}$ , la relation 3.18 conduit au théorème de VAN CITTERT-ZERNIKEVanC1VanC2Zern liant la distribution spatiale d'intensité $T_b(\xi,\eta) = \left<\vert \epsilon (\overrightarrow{\rho}) \vert ^2\right>$ à la valeur du degré de cohérence spatiale à la fréquence $(u,v)$ :

$$V(u,v) = \int \limits_{4\pi} T_b(\xi,\eta) ^{-2j\pi(u\xi+v\eta)}\ d\Omega$$ (3.18)

$$V(u,v) = \iint \limits_{\sqrt{\xi^2+\eta^2}<=1} \frac{T_b(\xi,\eta)}{\sqrt{1-\xi^2-\eta^2}} \ ^{-2j\pi(u\xi+v\eta)}\ d\xi d\eta$$ (3.19)

Ainsi, en négligeant tous les aspects instrumentaux, la corrélation des signaux reçus par deux antennes ayant un champ de vue se recouvrant, fournit une mesure la transformée de Fourier à la fréquence $(u,v)$ de la quantité $\widetilde {T_b}(\xi,\eta)=\frac{T_b(\xi,\eta)}{\sqrt{1-\xi^2-\eta^2}}$ appelée température de brillance modifiée. La section suivante va montrer comment les caractéristiques instrumentales vont venir modifier cette expression.

Figure 3.1: Description du référentiel lié à un couple d'antenne. L'origine est située à mi-distance de deux antennes placées à l'extrémité des vecteurs $\overrightarrow{r}_1$ et $\overrightarrow{r}_2$ . La projection de $(\overrightarrow {r}_1 - \overrightarrow {r}_2)$ sur l'axe $X$ est notée $d_1$ , celle sur l'axe $Y$ , $d_2$ . Les antennes observent une distribution surfacique $\epsilon$ sur le plan $Z=H$ (projection sur ce plan à droite). Les coordonnées d'un point de ce plan sont notées $(x,y,H)$ ou $(\rho,\theta ,\phi)$ .