The irregularity of f+(Oeg). - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2004

The irregularity of f+(Oeg).

L'irrégularité du complexe f+(Oeg)

(1)
1

Abstract

In the theory of D-modules, Gauss-Manin systems are defined by the direct image of the structure sheaf by a morphism. A major theorem says that these systems are regular. This thesis examines the irregularity of an analogue of the Gauss-Manin systems, it being the direct image of an elementary D-module associated to a polynomial g by a polynomial f, mainly in the case of two variables. We use two methods and compare them. This irregularity allows control of the immoderate growth of the integrales of an algebraic relative form on a locally constant collection of homology classes in the fibers of f with adapted closed supports. In our first method, we express the irregularity on c by the discriminant curve of f and g. The works of Lê Dung Trang and C. Weber on the resolution of polynomials at infinity help us to define a compactification of f and g. Using the theorem of Z. Mebkhout on the commutation between the direct image and the irregularity complex, we reduce the problem to calculating the Euler characteristics of the irregularity complexes by D-modules in two variables whose singular support is a normal crossing. According to a result of C. Sabbah, we can calculate these Euler characteristics using those of the Milnor fibres. Concerning the irregularity at infinity, we are led to take into account a special curve which comes from the dicritical divisors of a resolution at infinity for f and g. In our second method, we reduce the calculations to the case of two projections. Finally, we express the irregularity of the Gauss-Manin analogue as a function of characteristic cycles of the direct image complex of the structural sheaf by (f,g).
Dans la théorie des D-modules, on définit les systèmes de Gauss-Manin par l'image directe par un morphisme du faisceau structural. Un résultat essentiel est leur régularité. Dans cette thèse, on s'intéresse à l'irrégularité d'un analogue des systèmes de Gauss-Manin, l'image directe par un polynôme f d'un D-module élémentaire associé à un polynôme g, essentiellement dans le cas à deux variables. On utilisera deux approches que l'on comparera. Cette irrégularité permet de contrôler la croissance non modérée des intégrales d'une forme algébrique relative sur une collection de classes d'homologie dans les fibres de f, localement constante à supports fermés convenablement choisis. Dans une première méthode, nous exprimerons l'irrégularité en c de ces systèmes à l'aide de la courbe discriminante de f et g. On utilisera pour cela les travaux de Lê Dung Trang et C. Weber sur les résolutions à l'infini. En utilisant le théorème de commutation dû à Z. Mebkhout de l'image directe avec le complexe d'irrégularité, on se ramène alors aux calculs de caractéristiques d'Euler de complexes d'irrégularité de D-modules à deux variables dont le lieu singulier est un croisement normal. Un résultat de C. Sabbah permet alors de lier ces caractéristiques d'Euler à celles d'une fibre de Milnor. Pour l'irrégularité à l'infini, il faut ajouter une courbe spéciale qui provient des diviseurs dicritiques pour f et g d'une résolution à l'infini. Dans une deuxième méthode, on se ramènera au cas où f et g sont des projections. On exprimera alors l'irrégularité en fonction des cycles caractéristiques du complexe image directe par (f,g) du faisceau structural.
Fichier principal
Vignette du fichier
tel-00006796.pdf (678.48 Ko) Télécharger le fichier
Loading...

Dates and versions

tel-00006796 , version 1 (02-09-2004)
tel-00006796 , version 2 (03-09-2004)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00006796 , version 2

Cite

Céline Roucairol. L'irrégularité du complexe f+(Oeg). Mathématiques [math]. Université d'Angers, 2004. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00006796v2⟩
170 View
156 Download

Share

Gmail Facebook Twitter LinkedIn More