Géométrie algébrique réelle de certaines variétés de dimension 2 et 3 - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Hdr Année : 2004

Real algebraic geometry of some 2-dimensional and 3-dimensional varieties

Géométrie algébrique réelle de certaines variétés de dimension 2 et 3

Frédéric Mangolte

Résumé

The results presented here deal with the geometry and the topology of real algebraic varieties. A large part is devoted to surfaces (2-dimensional varieties). We present also a new program about 3-dimensional varieties. The selected results are organized in three directions:

1. Algebraic cycles on surfaces.

2. Topology of real algebraic varieties.

3. Approximation of smooth maps by regular maps.

1. We study the group of homology classes representable by real algebraic curves. This group is a geometric invariant which is an important tool, for example for some approximation problems. In a serie of papers, one of which with J. van Hamel, we achieved the classification of totally algebraic surfaces among all special surfaces.

2. The systematic study of the topology of real algebraic varieties was initiated in 1900 by D. Hilbert in the XVIth problem of his famous list. The main result here is the proof, with J. Huisman, of a conjecture of J. Kollar:
Every orientable Seifert 3-manifold is a real component of a uniruled algebraic variety.
This is an important step towards a classification of real algebraic uniruled threefolds.

3. Let X, Y be two nonsingular real algebraic varieties, X compact, the question is: "when is the space of regular maps R(X,Y) dense in the space of smooth maps C(X,Y) ?" (Cf. The Stone-Weierstrass Theorem when Y=R).
Here Y is the usual sphere. In a serie of two papers, one of which with with N. Joglar, we achieved the case when X is a surface of strictly negative Kodaira dimension: when X is homeomorphic to a torus, the only approximable maps are homotopically trivial, in all other cases with X connected, we have density.
An amazing fact is the existence of a unique intermediate rational case between triviality and density which is a real Del Pezzo surface of degree 2 with 4 connected components.
Les résultats présentés sont centrés sur la géométrie et la topologie des variétés algébriques réelles. Une grande partie est consacrée aux surfaces (variétés de dimension 2). On présente aussi un nouveau programme portant sur les variétés de dimension 3. Les résultats choisis sont repartis en trois axes :

1. Cycles algébriques sur les surfaces.
2. Topologie des variétés algébriques réelles.
3. Approximation des applications lisses par des applications régulières.

1. On s'intéresse au groupe des classes d'homologie représentables par des courbes algébriques réelles. Ce groupe est un invariant géométrique qui joue un rôle important notamment dans des questions d'approximation. Dans une série d'articles, dont l'un avec J. van Hamel, on conclut la classification des surfaces totalement algébriques parmi les surfaces de type spécial.

2. L'étude systématique de la topologie des variétés algébriques réelles a été initiée en 1900 par D. Hilbert dans le XVIème problème de sa fameuse liste. Le résultat le plus marquant est ici la preuve, avec J. Huisman, d'une conjecture de J. Kollár :
Toute variété de Seifert orientable est difféomorphe à une composante connexe d'une variété uniréglée réelle de dimension 3.
Il s'agit d'un pas important dans la classification des variétés uniréglées réelles de dimension 3.

3. Soient deux variétés algébriques réelles non singulières X et Y, X compacte, on cherche à savoir dans quels cas l'ensemble des applications régulières R(X,Y) est dense dans l'ensemble des applications lisses C(X,Y) (cf. Th. de Stone-Weierstrass lorsque Y = R).
Ici Y est la sphère usuelle. Dans une série de deux articles, dont l'un avec N. Joglar, on a terminé le cas où X est une surface de dimension de Kodaira strictement négative : si X est homéomorphe à un tore, les seules applications approximables sont homotopiquement triviales, dans tous les autres cas où X est connexe, on a densité.
De façon plutôt surprenante, on montre qu'il existe un unique cas rationnel intermédiaire entre trivialité et densité qui est une surface de Del Pezzo réelle de degré 2 possédant quatre composantes connexes.
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Dates et versions

tel-00006900 , version 1 (16-09-2004)

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  • HAL Id : tel-00006900 , version 1

Citer

Frédéric Mangolte. Géométrie algébrique réelle de certaines variétés de dimension 2 et 3. Mathématiques [math]. Université de Savoie, 2004. ⟨tel-00006900⟩
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