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Theses Year : 2004

Observability inequalities and adaptive resolution of the Vlasov equation by hierarchical finite elements

Inégalites d'observabilité et résolution adaptative de l'équation de Vlasov par éléments finis hiérarchiques

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Abstract

The first part deals with the study of observability inequalities which appear in control theory. We give an abstract theorem which
enables to deduce the observability of a system by compact perturbation, with a weakened condition on the perturbed operator. This theorem is then applied to the observability of some weakened coupled systems. We also prove the optimality of a recent theorem
concerning a generalisation of the Parseval identity to the divided differences of exponentials. The second part of this work deals
with the numerical resolution of the Vlasov equation by using semi-lagrangian type schemes. We first prove the convergence of arbitrarily high order schemes, by completing former results. We the develop a new numerical method based on biquadratic hierarchical finite elements, which enables here an efficient parallelisation. In the case of a piecewise affine reconstruction, we define a refinement strategy and quantities which control the error produced at each time step, in order to construct at last an adaptive algorithm, of which we prove the convergence.
La premiere partie est consacree a l'etude d'inegalites d'observabilite, qui interviennent en theorie du controle.
On donne ainsi un theoreme abstrait qui permet de deduire l'observabilite d'un systeme par perturbation compacte, avec une
condition affaiblie sur l'operateur perturbe. Ce theoreme est ensuite applique a l'observabilite de certains systemes
faiblement couples. On demontre aussi l'optimalite d'un theoreme recent concernant une generalisation de l'identite de
Parseval aux differences divisees d'exponentielles. La deuxieme partie de ce travail est consacree a la resolution numerique
de l'equation de Vlasov en utilisant des schemas de type semi-lagrangien. On demontre dans un premier temps la convergence de schemas d'ordre eleve arbitraire, en completant des resultats precedents. On developpe ensuite une nouvelle methode
numerique basee sur une interpolation par elements finis hierarchiques biquadratiques, qui permet ici une parallelisation
efficace. Dans le cadre d'une reconstruction affine par maille, on definit une strategie de raffinement et des quantites qui
controlent l'erreur produite a chaque pas de temps pour construire finalement un algorithme adaptatif dont on montre la convergence.
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Dates and versions

tel-00008254 , version 1 (01-02-2005)

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  • HAL Id : tel-00008254 , version 1

Cite

Michel Mehrenberger. Inégalites d'observabilité et résolution adaptative de l'équation de Vlasov par éléments finis hiérarchiques. Informatique [cs]. Université Louis Pasteur - Strasbourg I, 2004. Français. ⟨NNT : 2004STR13124⟩. ⟨tel-00008254⟩
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