Produits de matrices aléatoires :exposants de Lyapunov pour des matrices aléatoires suivant une mesure de Gibbs, théorèmes limites pour des produits au sens max-plus - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2005

Products of random matrices: Lyapunov exponents of random matrices with Gibbsian measure, limit theorems for products in the max-plus algebra.

Produits de matrices aléatoires :exposants de Lyapunov pour des matrices aléatoires suivant une mesure de Gibbs, théorèmes limites pour des produits au sens max-plus

Glenn Merlet

Résumé

A stochastic recurrent sequences (SRS) driven by a sequence of random matrices is a sequence of random variables whose element of order n+1 is the product of the element of order n by the n-th matrix. This thesis investigates the asymptotic behaviour of such sequences. In the first part, matrices are invertible and we give a separation criterion for Lyapunov exponents when the sequence of matrices obeys to a Gibbs measure on a finite type subshift. In the second part, the products are in the max-plus algebra. We show that the first order behaviour of the SRS essentially depends on the behaviour of diagonal blocks and that the memory loss property, which ensures the stability of the SRS, is generic. Using the spectral gap method, we show that if the sequence of random matrices (or topical applications) is i.i.d. and has the memory loss property, then the SRS driven by this sequence satisfy classical limit theorems.
On appelle suite récurrente stochastique (SRS) dirigée par une suite de matrices aléatoires une suite de variables aléatoires telles que le terme de rang n+1 est obtenu en multipliant celui de rang n par la enième matrice. Cette thèse porte sur le comportement asymptotique de telles suites. Dans la première partie, les matrices sont inversibles et on donne un critère de séparation des exposants de Lyapunov quand la suite de matrices suit une mesure de Gibbs sur un sous-shift de type fini. Dans la seconde partie, les produits se font au sens max-plus. On montre que le comportement des SRS au premier ordre est essentiellement déterminé par celui de certains blocs diagonaux et que la propriété de perte de mémoire, qui assure la stabilité des SRS, est générique. Si une suite de matrices (ou d'applications topicales) aléatoires est i.i.d. et a la propriété de perte de mémoire, alors les SRS qu'elle dirige vérifient des théorèmes limites. Ce résultat est obtenu par la méthode du trou spectral.
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Dates et versions

tel-00010813 , version 1 (28-10-2005)

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  • HAL Id : tel-00010813 , version 1

Citer

Glenn Merlet. Produits de matrices aléatoires :exposants de Lyapunov pour des matrices aléatoires suivant une mesure de Gibbs, théorèmes limites pour des produits au sens max-plus. Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00010813⟩
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