Étude de la valeur en s=2 de la fonction L d'une courbe elliptique - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2005

Value at 2 of the L-function of an elliptic curve

Étude de la valeur en s=2 de la fonction L d'une courbe elliptique

François Brunault
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 832225

Résumé

We study in this thesis the special value at 2 of L-functions of elliptic curves and modular forms of weight 2. We prove an explicit version of Beilinson's theorem for this special value. For any newform f of weight 2, level N ≥ 1 and character \psi, and for any Dirichlet character \chi modulo N (\chi even, primitive and different from the conjugate of \psi), we give an expression for L(f,2) L(f,\chi,1) as the regulator of an explicit Milnor symbol associated to modular units of X_1(N). At level \Gamma_1(p), with p prime, we deduce that Milnor symbols associated to modular units of X_1(p) generate the target vector space of Beilinson's regulator. Using the appendix by Merel, we give an explicit and universal formula for L(E,2), where E is an elliptic curve of prime conductor p, in terms of the twisted values L(E,\chi,1), where \chi is a character of conductor p. We also suggest a reformulation of Zagier's conjecture on L(E,2) for the jacobian J_1(N) of X_1(N), where N is the conductor of E. In this direction we propose an analogue of the elliptic dilogarithm for the jacobian J of an algebraic curve : it is a function R_J from the complex points of J to the dual space of holomorphic 1-forms on J. We show that L(f,2) L(f,\chi,1) is an explicit linear combination of values of R_{J_1(N)}, applied to f, at \Q-rational points of the cuspidal subgroup of J_1(N).
Nous étudions dans cette thèse la valeur spéciale des fonctions L des courbes elliptiques, et plus généralement des formes modulaires de poids 2, au premier point entier non critique, à
savoir s=2. Nous démontrons une version explicite d'un théorème de Beilinson relatif à cette valeur spéciale : pour toute forme parabolique primitive f de poids 2, niveau N ≥ 1 et caractère \psi, et pour tout caractère de Dirichlet \chi modulo N (pair, primitif et distinct du conjugué de \psi), nous exprimons L(f,2) L(f,\chi,1) comme régulateur d'un symbole de Milnor explicite associé à des unités modulaires de X_1(N). En niveau \Gamma_1(p), p premier, nous en déduisons que les symboles de Milnor associés aux unités modulaires de X_1(p) engendrent l'espace d'arrivée du régulateur de Beilinson. Utilisant l'appendice par Merel, nous donnons une formule explicite et universelle pour L(E,2), E courbe elliptique de conducteur p premier, en termes des valeurs tordues L(E,\chi,1), \chi caractère de conducteur p. Nous suggérons également une reformulation de la conjecture de Zagier pour L(E,2) au niveau de la jacobienne J_1(N) de X_1(N), où N est le conducteur de E. En ce sens, nous proposons un analogue du dilogarithme elliptique pour la jacobienne J d'une courbe algébrique : c'est une fonction R_J des points complexes de J vers le dual de l'espace des 1-formes différentielles holomorphes sur J. Nous montrons que L(f,2) L(f,\chi,1) est combinaison linéaire explicite de valeurs de R_{J_1(N)}, appliquée à f, en des points \Q-rationnels du sous-groupe cuspidal de J_1(N).
Fichier principal
Vignette du fichier
these_brunault.pdf (1.44 Mo) Télécharger le fichier
Loading...

Dates et versions

tel-00011533 , version 1 (03-02-2006)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00011533 , version 1

Citer

François Brunault. Étude de la valeur en s=2 de la fonction L d'une courbe elliptique. Mathématiques [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00011533⟩
582 Consultations
353 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More