Contrôle en dimension finie et infinie
Control in finite and infinite dimension
Résumé
Ce mémoire présente les travaux que j'ai effectués, tout d'abord, à
l'Institut de Mathématiques de l'Université de Dijon, pendant ma thèse de
1998 à 2000, puis dans l'équipe d'Analyse Numérique et Equations aux
Dérivées Partielles du Département de Mathématiques de l'Université
d'Orsay, depuis 2001.
Ces travaux sont regroupés en deux parties, la première traitant de
problèmes de contrôle en dimension finie, et la seconde, en dimension
infinie. Ces deux parties sont elles-mêmes séparées en deux
sous-parties~: les résultats théoriques, et les résultats
numériques. A la fin de chaque partie, des projets de recherche sont
présentés.
Dans la première partie, on s'intéresse à
la régularité de la fonction valeur associée à un problème de contrôle
optimal non linéaire en dimension finie. Il s'avère
que cette régularité est liée à l'existence de \textit{trajectoires
singulières minimisantes}.
Rappelons qu'une trajectoire \textit{singulière} est une singularité
de l'ensemble des solutions du système de contrôle.
Selon le principe du maximum de Pontryagin, les trajectoires
singulières sont projections d'\textit{extrémales anormales}, par
opposition aux \textit{extrémales normales} qui constituent le cadre
classique du calcul des variations.
Pour des systèmes affines à coût quadratique,
on montre que, s'il n'existe aucune trajectoire singulière
minimisante, alors la fonction valeur associée est
\textit{sous-analytique} (cela s'étend à des situations
plus générales).
Ces résultats ont des conséquences dans les théories d'Hamilton-Jacobi
et de stabilisation. Tout d'abord, on montre que
la \textit{solution de viscosité} de certaines
classes d'\textit{équations d'Hamilton-Jacobi}
est sous-analytique, ce qui implique en particulier
que l'ensemble de ses singularités est une sous-variété stratifiée de
codimension au moins un. Ensuite, on montre un résultat de
\textit{stabilisation hybride semi-globale} pour des
systèmes de contrôle affines sans dérive.
S'il existe des trajectoires singulières minimisantes, la fonction
valeur n'est pas sous-analytique en général. Une étude
asymptotique est faite sur le cas modèle sous-Riemannien de Martinet.
Dans le cas intégrable, on montre que la fonction valeur appartient à
la classe \textit{log-exp}, qui est une extension de la classe
sous-analytique avec des fonctions logarithme et exponentielle.
Ces résultats motivent donc l'étude des propriétés des
trajectoires singulières.
Tout d'abord, concernant leur optimalité, ces trajectoires ont,
sous des conditions génériques, la propriété de
\textit{rigidité}, c'est-à-dire qu'elles sont localement isolées
parmi toutes les solutions du système ayant les mêmes extrémités, et
donc, elles sont localement optimales, jusqu'à un premier temps dit
\textit{conjugué} que l'on peut caractériser.
On s'intéresse alors à l'occurence des trajectoires singulières
minimisantes.
Des résultats de type \textit{Morse-Sard} sont présentés dans le cadre
de la géométrie sous-Riemannienne, qui montrent qu'elles ne
remplissent que peu d'espace.
En particulier, on montre que l'image de l'application exponentielle
(qui paramétrise les extrémales normales) est partout dense, et même
de mesure de Lebesgue pleine dans le cas de corang un.
On prend ensuite le point de vue inverse, en s'intéressant aux
propriétés de généricité des trajectoires singulières, pour des
systèmes de contrôle affines. On montre que, génériquement au sens de
Whitney, elles sont \textit{d'ordre minimal} et \textit{de corang un},
ce qui a des corollaires en contrôle optimal.
Par exemple, pour des systèmes de contrôle affines génériques ayant
plus de trois champs de vecteurs, avec coût quadratique, il n'existe
aucune trajectoire singulière minimisante~;
en particulier, la fonction valeur associée est donc sous-analytique.
Dans le deuxième chapitre de la première partie, on s'intéresse aux
méthodes numériques en
contrôle optimal. Il existe deux types principaux de méthodes~: les
\textit{méthodes directes} d'une part, qui reposent sur une discrétisation
totale du problème de contrôle optimal, et conduisent à des problèmes
de programmation non linéaire~; les \textit{méthodes indirectes}
d'autre part,
basées sur le principe du maximum, qui réduisent le problème à un
problème aux valeurs limites se résolvant numériquement par une
\textit{méthode de tir}. Ces dernières sont
particulièrement adaptées aux applications en aéronautique présentées
ici. Le principe du maximum étant une condition nécessaire
d'optimalité, il convient de s'assurer a posteriori que les
extrémales calculées par la méthode de tir sont bien optimales.
Pour cela, on rappelle le concept de \textit{temps
conjugué}, c'est-à-dire le temps au-delà duquel une extrémale n'est
plus localement optimale, et on décrit des algorithmes de calcul,
basés sur des développements théoriques récents en théorie du
contrôle optimal géométrique, qui couvrent le cas normal et le cas
anormal. Ces algorithmes, ainsi que la méthode de tir, sont
implémentés dans le logiciel \textit{COTCOT}
(Conditions of Order Two and COnjugate times), disponible sur le web.
Des applications en aéronautique sont ensuite présentées~: le problème
de rentrée atmosphérique d'une navette spatiale tout d'abord, où le
but est de déterminer une trajectoire optimale jusqu'à une cible
donnée, le contrôle étant l'angle de g\^\i te, et le coût étant
le flux thermique total (facteur d'usure). La navette est de plus
soumise à des contraintes sur l'état~: flux thermique,
accélération normale, et pression dynamique. Ces contraintes
rendent le problème de contrôle optimal difficile, et nécessitent
une étude préliminaire théorique et géométrique sur les synthèses
optimales locales avec contraintes.
Ensuite, on présente le problème de transfert orbital d'un satellite à
poussée faible, où le but est de transférer l'engin d'une orbite basse
à une orbite géostationnaire, en temps minimal, sachant que la force de
propulsion est très faible. Le problème de temps optimal est important
lorsque la poussée est faible (par exemple, une propulsion
ionique), car le transfert orbital peut prendre plusieurs mois.
Pour ces deux problèmes, des simulations numériques,
utilisant les méthodes précédentes, sont présentées.
Dans la deuxième partie, on s'intéresse à des problèmes de contrôle des
équations aux dérivées partielles.
On présente tout d'abord une méthode de contrôlabilité et de
stabilisation, qui consiste à stabiliser un système de contrôle le
long d'un chemin d'états stationnaires. Pour mettre en évidence l'idée
principale, cette méthode est présentée en dimension finie. Elle
permet de construire un contrôle feedback sous forme explicite, ainsi
qu'une fonction de Lyapunov, et par ailleurs, elle est facilement
implémentable. Cette méthode de déformation quasi-statique permet
d'établir des résultats de contrôlabilité exacte et de stabilisation
pour des équations de la chaleur et des ondes semi-linéaires en
dimension un, où la non-linéarité est quelconque. Notons que
l'existence de fonctions barrières et/ou de
phénomènes d'explosion limitent les résultats de contrôlabilité.
Pour ces deux équations, on montre que l'on peut passer, avec un
contrôle frontière, en temps éventuellement grand, d'un état
stationnaire à tout autre, pourvu qu'ils appartiennent à une même
composante connexe de l'ensemble des états stationnaires (cette
condition étant vérifiée dans un grand nombre de cas). La procédure
consiste en fait à stabiliser un système de contrôle linéaire
instationnaire de dimension finie, et on peut construire un contrôle
sous forme de boucle fermée, en calculant un nombre fini de composantes
de la solution, dans une décomposition sur une base Hilbertienne (pour
l'équation de la chaleur) ou sur une base de Riesz (pour l'équation
des ondes). Des simulations numériques sont effectuées.
On présente ensuite un résultat de contrôlabilité exacte
sur les flots de Couette, qui sont des solutions stationnaires
particulières des équations de Navier-Stokes d'un fluide
incompressible entre deux cylindres
concentriques infinis en rotation. On montre qu'il est possible de passer d'un
flot de Couette à tout autre, en agissant juste sur la rotation du
cylindre extérieur.
Dans le dernier chapitre,
on s'intéresse à la semi-discrétisation (en espace) des
équations aux dérivées partielles linéaires contrôlées.
La discrétisation d'une EDP contrôlable, en utilisant par exemple une
méthode de Galerkin, conduit à une
famille de systèmes de contrôle linéaires, et on se pose la question
de savoir si on peut déterminer des contrôles pour ces systèmes
semi-discrétisés, convergeant, lorsque le pas de discrétisation tend
vers zéro, vers un contrôle pour le modèle continu, permettant
d'atteindre un certain point. Pour des EDP
linéaires contrôlables, il existe de nombreuses
méthodes pour réaliser la contrôlabilité~; parmi elles, la méthode HUM
(\textit{Hilbert Uniqueness Method})
consiste à minimiser la norme $L^2$ du
contrôle pour atteindre une cible fixée. Pour des systèmes
paraboliques exactement contrôlables à zéro, sous des conditions
standards sur le procédé de semi-discrétisation (vérifiées pour la
plupart des méthodes habituelles), lorsque l'opérateur de contrôle
n'est que faiblement non borné, on montre un résultat de
\textit{contrôlabilité uniforme} des systèmes de contrôles
discrétisés. De plus, on donne un procédé de minimisation pour
calculer des contrôles sur les modèles approchés, qui convergent
vers le contrôle HUM du modèle continu permettant d'atteindre une
certaine cible.
La condition sur l'opérateur de contrôle est vérifiée, par exemple,
pour l'équation de la chaleur avec contrôle frontière de type Neumann,
et des simulations numériques sont présentées dans ce cadre.
l'Institut de Mathématiques de l'Université de Dijon, pendant ma thèse de
1998 à 2000, puis dans l'équipe d'Analyse Numérique et Equations aux
Dérivées Partielles du Département de Mathématiques de l'Université
d'Orsay, depuis 2001.
Ces travaux sont regroupés en deux parties, la première traitant de
problèmes de contrôle en dimension finie, et la seconde, en dimension
infinie. Ces deux parties sont elles-mêmes séparées en deux
sous-parties~: les résultats théoriques, et les résultats
numériques. A la fin de chaque partie, des projets de recherche sont
présentés.
Dans la première partie, on s'intéresse à
la régularité de la fonction valeur associée à un problème de contrôle
optimal non linéaire en dimension finie. Il s'avère
que cette régularité est liée à l'existence de \textit{trajectoires
singulières minimisantes}.
Rappelons qu'une trajectoire \textit{singulière} est une singularité
de l'ensemble des solutions du système de contrôle.
Selon le principe du maximum de Pontryagin, les trajectoires
singulières sont projections d'\textit{extrémales anormales}, par
opposition aux \textit{extrémales normales} qui constituent le cadre
classique du calcul des variations.
Pour des systèmes affines à coût quadratique,
on montre que, s'il n'existe aucune trajectoire singulière
minimisante, alors la fonction valeur associée est
\textit{sous-analytique} (cela s'étend à des situations
plus générales).
Ces résultats ont des conséquences dans les théories d'Hamilton-Jacobi
et de stabilisation. Tout d'abord, on montre que
la \textit{solution de viscosité} de certaines
classes d'\textit{équations d'Hamilton-Jacobi}
est sous-analytique, ce qui implique en particulier
que l'ensemble de ses singularités est une sous-variété stratifiée de
codimension au moins un. Ensuite, on montre un résultat de
\textit{stabilisation hybride semi-globale} pour des
systèmes de contrôle affines sans dérive.
S'il existe des trajectoires singulières minimisantes, la fonction
valeur n'est pas sous-analytique en général. Une étude
asymptotique est faite sur le cas modèle sous-Riemannien de Martinet.
Dans le cas intégrable, on montre que la fonction valeur appartient à
la classe \textit{log-exp}, qui est une extension de la classe
sous-analytique avec des fonctions logarithme et exponentielle.
Ces résultats motivent donc l'étude des propriétés des
trajectoires singulières.
Tout d'abord, concernant leur optimalité, ces trajectoires ont,
sous des conditions génériques, la propriété de
\textit{rigidité}, c'est-à-dire qu'elles sont localement isolées
parmi toutes les solutions du système ayant les mêmes extrémités, et
donc, elles sont localement optimales, jusqu'à un premier temps dit
\textit{conjugué} que l'on peut caractériser.
On s'intéresse alors à l'occurence des trajectoires singulières
minimisantes.
Des résultats de type \textit{Morse-Sard} sont présentés dans le cadre
de la géométrie sous-Riemannienne, qui montrent qu'elles ne
remplissent que peu d'espace.
En particulier, on montre que l'image de l'application exponentielle
(qui paramétrise les extrémales normales) est partout dense, et même
de mesure de Lebesgue pleine dans le cas de corang un.
On prend ensuite le point de vue inverse, en s'intéressant aux
propriétés de généricité des trajectoires singulières, pour des
systèmes de contrôle affines. On montre que, génériquement au sens de
Whitney, elles sont \textit{d'ordre minimal} et \textit{de corang un},
ce qui a des corollaires en contrôle optimal.
Par exemple, pour des systèmes de contrôle affines génériques ayant
plus de trois champs de vecteurs, avec coût quadratique, il n'existe
aucune trajectoire singulière minimisante~;
en particulier, la fonction valeur associée est donc sous-analytique.
Dans le deuxième chapitre de la première partie, on s'intéresse aux
méthodes numériques en
contrôle optimal. Il existe deux types principaux de méthodes~: les
\textit{méthodes directes} d'une part, qui reposent sur une discrétisation
totale du problème de contrôle optimal, et conduisent à des problèmes
de programmation non linéaire~; les \textit{méthodes indirectes}
d'autre part,
basées sur le principe du maximum, qui réduisent le problème à un
problème aux valeurs limites se résolvant numériquement par une
\textit{méthode de tir}. Ces dernières sont
particulièrement adaptées aux applications en aéronautique présentées
ici. Le principe du maximum étant une condition nécessaire
d'optimalité, il convient de s'assurer a posteriori que les
extrémales calculées par la méthode de tir sont bien optimales.
Pour cela, on rappelle le concept de \textit{temps
conjugué}, c'est-à-dire le temps au-delà duquel une extrémale n'est
plus localement optimale, et on décrit des algorithmes de calcul,
basés sur des développements théoriques récents en théorie du
contrôle optimal géométrique, qui couvrent le cas normal et le cas
anormal. Ces algorithmes, ainsi que la méthode de tir, sont
implémentés dans le logiciel \textit{COTCOT}
(Conditions of Order Two and COnjugate times), disponible sur le web.
Des applications en aéronautique sont ensuite présentées~: le problème
de rentrée atmosphérique d'une navette spatiale tout d'abord, où le
but est de déterminer une trajectoire optimale jusqu'à une cible
donnée, le contrôle étant l'angle de g\^\i te, et le coût étant
le flux thermique total (facteur d'usure). La navette est de plus
soumise à des contraintes sur l'état~: flux thermique,
accélération normale, et pression dynamique. Ces contraintes
rendent le problème de contrôle optimal difficile, et nécessitent
une étude préliminaire théorique et géométrique sur les synthèses
optimales locales avec contraintes.
Ensuite, on présente le problème de transfert orbital d'un satellite à
poussée faible, où le but est de transférer l'engin d'une orbite basse
à une orbite géostationnaire, en temps minimal, sachant que la force de
propulsion est très faible. Le problème de temps optimal est important
lorsque la poussée est faible (par exemple, une propulsion
ionique), car le transfert orbital peut prendre plusieurs mois.
Pour ces deux problèmes, des simulations numériques,
utilisant les méthodes précédentes, sont présentées.
Dans la deuxième partie, on s'intéresse à des problèmes de contrôle des
équations aux dérivées partielles.
On présente tout d'abord une méthode de contrôlabilité et de
stabilisation, qui consiste à stabiliser un système de contrôle le
long d'un chemin d'états stationnaires. Pour mettre en évidence l'idée
principale, cette méthode est présentée en dimension finie. Elle
permet de construire un contrôle feedback sous forme explicite, ainsi
qu'une fonction de Lyapunov, et par ailleurs, elle est facilement
implémentable. Cette méthode de déformation quasi-statique permet
d'établir des résultats de contrôlabilité exacte et de stabilisation
pour des équations de la chaleur et des ondes semi-linéaires en
dimension un, où la non-linéarité est quelconque. Notons que
l'existence de fonctions barrières et/ou de
phénomènes d'explosion limitent les résultats de contrôlabilité.
Pour ces deux équations, on montre que l'on peut passer, avec un
contrôle frontière, en temps éventuellement grand, d'un état
stationnaire à tout autre, pourvu qu'ils appartiennent à une même
composante connexe de l'ensemble des états stationnaires (cette
condition étant vérifiée dans un grand nombre de cas). La procédure
consiste en fait à stabiliser un système de contrôle linéaire
instationnaire de dimension finie, et on peut construire un contrôle
sous forme de boucle fermée, en calculant un nombre fini de composantes
de la solution, dans une décomposition sur une base Hilbertienne (pour
l'équation de la chaleur) ou sur une base de Riesz (pour l'équation
des ondes). Des simulations numériques sont effectuées.
On présente ensuite un résultat de contrôlabilité exacte
sur les flots de Couette, qui sont des solutions stationnaires
particulières des équations de Navier-Stokes d'un fluide
incompressible entre deux cylindres
concentriques infinis en rotation. On montre qu'il est possible de passer d'un
flot de Couette à tout autre, en agissant juste sur la rotation du
cylindre extérieur.
Dans le dernier chapitre,
on s'intéresse à la semi-discrétisation (en espace) des
équations aux dérivées partielles linéaires contrôlées.
La discrétisation d'une EDP contrôlable, en utilisant par exemple une
méthode de Galerkin, conduit à une
famille de systèmes de contrôle linéaires, et on se pose la question
de savoir si on peut déterminer des contrôles pour ces systèmes
semi-discrétisés, convergeant, lorsque le pas de discrétisation tend
vers zéro, vers un contrôle pour le modèle continu, permettant
d'atteindre un certain point. Pour des EDP
linéaires contrôlables, il existe de nombreuses
méthodes pour réaliser la contrôlabilité~; parmi elles, la méthode HUM
(\textit{Hilbert Uniqueness Method})
consiste à minimiser la norme $L^2$ du
contrôle pour atteindre une cible fixée. Pour des systèmes
paraboliques exactement contrôlables à zéro, sous des conditions
standards sur le procédé de semi-discrétisation (vérifiées pour la
plupart des méthodes habituelles), lorsque l'opérateur de contrôle
n'est que faiblement non borné, on montre un résultat de
\textit{contrôlabilité uniforme} des systèmes de contrôles
discrétisés. De plus, on donne un procédé de minimisation pour
calculer des contrôles sur les modèles approchés, qui convergent
vers le contrôle HUM du modèle continu permettant d'atteindre une
certaine cible.
La condition sur l'opérateur de contrôle est vérifiée, par exemple,
pour l'équation de la chaleur avec contrôle frontière de type Neumann,
et des simulations numériques sont présentées dans ce cadre.