Mathematical and numerical modelisation of polydispersed spray flames
Modélisation mathématique et numérique de la combustion de brouillards de gouttes polydispersés
Résumé
A Eulerian multi-fluid model is introduced in order to describe the evolution of polydispersed spray flames. It is rigorously derived from a kinetic level of description and has the capability to take into account droplets interactions, such as coalescence, an uncommon feature of Eulerian models. It is validated, in the case of diluted spray, by comparison with experimental measurements on laminar spray diffusion flames. It is also compared numerically with Lagrangian methods, in dense or diluted sprays cases. Moreover, its numerical analysis is conducted, in a case where the vaporization process is isolated. This analysis leads to the introduction of higher order methods, for the size space discretization. It also allows us to consider the propagation of planar polydispersed spray flames. This configuration is described by a reaction-diffusion system for a thermo-diffusive model of the gas, coupled with the kinetic model of the spray. The flame propagation is described by traveling waves for the whole system. To study the existence, we use topological degree methods for elliptic operators in unbounded domains. However, the kinetic model introduce an hyperbolic PDE. The results of the numerical analysis allows us to consider a discretization of the size space phase and yields to a finite dimensional dynamical system.We then add a diffusion coefficient in order to obtain an elliptic system and apply topological degree methods. Passing to the limit on the diffusion coefficient and then on the discretization step allows us to prove the existence of a planar propagating polydispersed spray flame.
On introduit un modèle multi-fluides eulérien pour décrire l'évolution de sprays polydispersés dans des flammes diphasiques. Nous montrons que ce modèle peut être obtenu à partir d'un niveau cinétique de description. Il peut ainsi prendre en compte des interactions entre gouttes d'inerties différentes, comme la coalescence, ce qui n'avait jamais été fait avec un modèle eulérien. Il est validé par des comparaisons avec des mesures expérimentales pour le cas des sprays dilués sur des configurations de flammes laminaires de diffusion à contre-courant. Il est également comparé numériquement à des méthodes d'échantillonnages dans des cas de sprays dilués ou denses. D'autre part, son analyse numérique est menée dans un cas simplifié où seule subsiste l'évaporation. Cette analyse nous permet d'introduire d'autres méthodes numériques d'ordre arbitrairement élevé pour discrétiser l'espace des phases en taille et décrire l'évaporation. Elle nous permet aussi de considérer la propagation de flammes planes de prémélange, en présence d'un spray polydispersé. Cette configuration est décrite par un système de réaction-diffusion pour un modèle thermo-diffusif du gaz couplé au modèle cinétique du spray. La propagation de telles flammes est décrite par des ondes progressives du système complet. Pour en étudier l'existence, on utilise des méthodes de degré topologique pour des opérateurs elliptiques dans des domaines non bornés. Cependant, le modèle cinétique introduit une EDP hyperbolique. Les résultats d'analyse numérique permettent d'envisager une discrétisation de l'espace des tailles de gouttes, afin de se ramener à un système dynamique de dimension finie. Il reste à ajouter une diffusion dans la partie hyperbolique du système, afin d'obtenir un système elliptique et pouvoir appliquer une méthode de degré topologique. En passant à la limite sur la diffusion, puis sur le pas de discrétisation, on montre l'existence de flamme plane se propageant, en présence d'un spray polydispersé.