Modèles et analyses mathématiques pour les mouvements collectifs de cellules - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2007

Mathematical models and analysis for the collective motion of cells

Modèles et analyses mathématiques pour les mouvements collectifs de cellules

Résumé

We investigate some mathematical models describing the collective motion of a population of cells, interacting through a chemical signal. We highlight the parabolic model of Patlak-Keller-Segel, and also the kinetic model of Othmer-Dunbar-Alt.

The first part consists in studying several variants of the classical PKS model, including for instance nonlinear diffusion of the cells, or a chemical diffusion law based on a logarithmic Green kernel. Next we tackle the global existence problem for the full parabolic-parabolic PKS system in the whole space $\mathbb{R}^2$. Independently we complexify the basic model by adding a second reactant, modifying henceforth the system's homogeneity. Finally we are able to weaken the previous global existence assumptions for the kinetic ODA model with delocalization effects.

In the second part we apply the critical mass instability to model phenomenologically a remarkable pattern formation issue in the human brain, namely the Baló's Concentric Sclerosis. A suitable coupling between a front propagation and the PKS model exhibits the concentric rings appearing in this disease in a reasonable way.

In the third part we adopt the recent optimal transportation viewpoint to analyse the one dimensional PKS model obtained previously (which captures the key features of the 2D PKS). Although the energy functional is not displacement convex, we prove that solutions converge to a unique stationary state, as soon as it exists. This interpretation is performed numerically: a discrete gradient flow adapted to the Wasserstein distance is analysed and simulated in one dimension of space.

Several appendices complete this work, among which one gathers all numerical aspects of this thesis.
Cette thèse est consacrée à certains modèles mathématiques décrivant le mouvement d'une population de cellules, qui interagissent via un signal chimique. L'accent est mis sur le modèle parabolique de Patlak-Keller-Segel, et dans une moindre mesure, sur le modèle cinétique d'Othmer-Dunbar-Alt.

Dans une première partie nous étudions plusieurs variantes du modèle PKS classique, incluant notamment une diffusion non-linéaire des cellules, ou bien une loi de diffusion chimique à noyau de Green logarithmique. Puis nous montrons l'existence globale pour une masse sous-critique du modèle PKS classique dans tout l'espace $\mathbb{R}^2$.
On complexifie ensuite le modèle de base en ajoutant un intermédiaire chimique réactionnel, ce qui modifie l'homogénéité du système. Enfin les conditions d'existence globale pour le modèle cinétique ODA avec effets délocalisants sont affaiblies par rapport aux travaux précédents.

Dans une deuxième partie nous appliquons le modèle phénoménologique de PKS, et son principe de masse critique, à un processus d'auto-organisation remarquable dans le cerveau: la sclérose concentrique de Baló. Un couplage adéquat entre un front de propagation et une instabilité de PKS décrit raisonnablement les motifs en anneaux de la maladie.

La troisième partie adopte le point de vue du transport optimal de masse pour analyser le modèle de PKS unidimensionnel modifié auparavant (afin de partager les caractéristiques de PKS 2D). Bien que la fonctionnelle d'énergie ne soit pas convexe par déplacement, nous démontrons la convergence vers un unique état d'équilibre, lorsqu'il existe. Ces nouvelles idées sont mises en oeuvre numériquement~: un flot gradient discret pour la distance de Wasserstein est analysé, puis simulé en dimension un d'espace.

Plusieurs annexes viennent compléter ce travail, dont une annexe qui regroupe tous les aspects numériques de la thèse.
Fichier principal
Vignette du fichier
TheseCalvezHAL.pdf (7.58 Mo) Télécharger le fichier
Loading...

Dates et versions

tel-00255811 , version 1 (14-02-2008)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00255811 , version 1

Citer

Vincent Calvez. Modèles et analyses mathématiques pour les mouvements collectifs de cellules. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2007. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00255811⟩
377 Consultations
1202 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More