Contributions à la planification d'expériences robuste à l'erreur structurelle
Résumé
We deal with the problem of model robust design of experiments for regression, when the regression model is parametric, linear with respect to parameters. The model error is modelled by a stochastic process, Gaussian or more generally which possess a second order moment. The case of standard least squares estimation for the regression parameters with the integrated squared prediction error (ISPE) as performance criterion for the predictor is mainly considered, but the approach remains valid for weighted least squares and for all linear functional of the prediction error as performance criterion. The optimality criteria defined are based on total expectation (with respect to the joint distribution of noise and model error) of the ISPE and quantile of the ISPE, which are optimized for exact designs by a particle swarm method. Optimization of the quantile criterion required to develop an efficient numerical method to approximate the quantile of a sum of squares of correlated Gaussian variables. The problem of dependence of optimal designs with respect to hyperparameters (introduced by the process covariance function) is treated by a maximin approach, and leads to the definition of a new optimality criterion, whose optimization is made possible by using an interpolation for criterion evaluation. Resulting optimal designs are proven to be efficient with respect to other criteria and compare favorably to other designs from the literature. Application of the approach to the design of a flowmeter robust to pipe singularities illustrates how to introduce precise a priori knowledge about the nature of the model error, here some data computed by a finite elements code.
Nous traitons le problème de planification d'expériences robuste à l'erreur structurelle pour la régression, lorsque la structure de régression est paramétrique et linéaire par rapport aux paramètres. L'erreur structurelle est modélisée par un processus stochastique, gaussien ou plus généralement qui possède un moment d'ordre deux. On considère principalement le cas de l'estimation des paramètres par moindres carrés avec comme critère de performance du prédicteur l'intégrale de l'erreur quadratique de prédiction (IEQP), mais la démarche reste valable pour les moindres carrés pondérés et pour toute fonctionnelle linéaire de l'erreur de prédiction. Les critères d'optimalité retenus sont fondés sur l'espérance totale (par rapport à la loi conjointe du bruit et l'erreur structurelle) de l'IEQP et le quantile de l'IEQP, qu'on optimise pour les protocoles exacts à l'aide d'une méthode par essaim de particules. L'optimisation du quantile a nécessité de développer une méthode numérique efficace pour l'approximation du quantile d'une somme de carrés de variables gaussiennes centrées corrélées. Le problème de la dépendance des protocoles vis-à-vis des hyperparamètres (introduits par la fonction de covariance du processus stochastique) est traité par une approche de type maximin de l'efficacité, et aboutit à la définition d'un nouveau critère d'optimalité, dont l'optimisation est rendue possible par l'emploi d'une interpolation dans l'évaluation du critère. Les protocoles optimaux obtenus prouvent leurs bonnes performances vis-à-vis d'autres critères et se comparent favorablement à d'autres protocoles issus de critères de la littérature. L'application de la démarche à la conception d'un débitmètre robuste aux singularités de conduite permet d'illustrer comment introduire des connaissances a priori précises sur la nature de l'erreur structurelle, ici des données issues de codes aux éléments finis.