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Thèse Année : 2009

Study of diffusion processes on Lorentzian manifolds.

Etude de diffusions à valeurs dans des variétés lorentziennes.

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Jürgen Angst
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 929881

Résumé

We study some stochastic processes taking values in Lorentzian manifolds. We are particularly interested in the long time behavior of these processes and we try to understand how it reflects the geometry of the underlying manifolds. We focus on diffusions, i.e. continuous Markov processes, taking values in the unitary tangent bundle of symmetric Lorentzian manifolds. The introduction and the study of such diffusions are motivated by physical as well as purely mathematical reasons.

This thesis is divided into two parts. The first one is devoted to the proof of a central limit theorem for a large class of Minkowskian diffusions. It answers some open questions in the Physical literature. In the second part of the thesis, we study a relativistic Brownian motion in Robertson-Walker space times. We describe explicitly the asymptotic behavior of the process depending on the geometry of these space times. We show in particular that its sample paths asymptotically behave like null geodesics. We also determine the Poisson boundary of the diffusion for a class of Robertson-Walker space times.
L'objet de ce mémoire est l'étude de processus stochastiques à valeurs dans des variétés lorentziennes. En particulier, on s'intéresse au comportement asymptotique en temps long de ces processus et on souhaite voir en quoi celui-ci reflète la géométrie des variétés sous-jacentes. Nous limitons notre étude à celle de diffusions, c'est-à-dire de processus markoviens continus, à valeurs dans le fibré tangent unitaire de variétés lorentziennes fortement symétriques. L'introduction et l'étude de tels processus ont des motivations purement mathématiques mais aussi physiques.

Ce mémoire est composé de deux parties. La première est consacrée à la preuve d'un théorème limite central pour une classe de diffusions minkowskiennes. Elle est motivée par des questions ouvertes de la littérature physique. La seconde partie du manuscrit est consacrée à l'étude détaillée d'une diffusion relativiste à valeurs dans les espaces de Robertson-Walker. En fonction de la courbure et de la vitesse d'expansion de ces espaces, nous déterminons précisément le comportement asymptotique de la diffusion relativiste et montrons que ses trajectoires approchent asymptotiquement des géodésiques de lumière aléatoires. Pour une classe d'espaces de Robertson-Walker, nous explicitons en outre la frontière de Poisson de la diffusion relativiste.
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Dates et versions

tel-00418842 , version 1 (21-09-2009)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00418842 , version 1

Citer

Jürgen Angst. Etude de diffusions à valeurs dans des variétés lorentziennes.. Mathématiques [math]. Université de Strasbourg, 2009. Français. ⟨NNT : 2009STRA6121⟩. ⟨tel-00418842⟩
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