Discrete Complex Analysis - TEL - Thèses en ligne
Hdr Année : 2009

Discrete Complex Analysis

Analyse Complexe Discrète

Résumé

My present interest is in Discrete Differential Geometry, especially applied to Computer Graphics, but it stems from Discrete Complex Analysis and Integrable Models, which has been my main subject of study during the past 6 years. The intention is to translate the best part of the theory of surfaces and complex analysis to the era of computers and discrete surfaces. This XIXth century theory, paved the way to the world of engineering marvels of the XXth century. Its discrete counterpart would be a real benefit for many different subjects of industrial interest. I have developped the theory of Discrete Complex Analysis and Discrete Riemann Surfaces as a tool to tackle issues in Exactly Solvable Models in Statistical Mechanics. The main idea is to try to see, in an exactly solvable model, a Finite Conformal Field Theory, without having to go to the thermodynamic limit. This life long project, set by my advisor Daniel Bennequin, was given positive partial answers in my PhD thesis: criticality in the Ising model can be seen at the finite level as compatibility with discrete conformality. The links with integrability extend to discrete integrable models, that I investigated in the Technical Universtiy Berlin with A. Bobenko. We found a quadratic counterpart to this linear theory, building the two first steps of a hierarchy of discrete integrable systems.
Ma contribution principale porte sur la géométrie différentielle discrète, spécialement la géométrie conforme discrète. Les champs d'application principaux que j'étudie sont l'imagerie par ordinateur et les systèmes intégrables, tant les systèmes intégrables discrets que les systèmes statistiques intégrables. Ma thèse sur le modèle d'Ising a identifié la criticité dans le modèle de taille fini comme un point où le fermion, une observable particulière, devient holomorphe pour une structure conforme discrète sous-jacente. À l'université de Melbourne, je me suis intéressé avec Paul Pearce aux modèles ADE qui sont une généralisation du modèle d'Ising, dans le but (inachevé mais en bonne voie) d'y identifier un analogue discret de l'algèbre des opérateurs vertex (les conditions de bord conformes et intégrables) et des blocs conformes, en particulier dans l'espoir de comprendre la criticité comme une compatibilité à l'holomorphie discrète. À l'université technique de Berlin, avec Alexander Bobenko et son équipe, j'ai compris la nature intégrable du modèle associé à l'holomorphie discrète (linéaire et quadratique) et utilisé les outils très puissants de cette théorie (isomonodromie, transformations de Darboux-Bäcklund, finite-gap) pour mettre à jour la position centrale de l'analyse complexe discrète dans la hiérarchie des systèmes intégrables discrets. À Montpellier, dans l'équipe Arith dirigée par Valérie Berthé, j'ai appliqué cette théorie dans le cadre de la géométrie différentielle discrète, particulièrement dans le cadre voxellique de la géométrie digitale.

Domaines

Mathématiques [math] Modélisation et simulation Physique mathématique [math-ph] Physique mathématique [math-ph]
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Soumis le : mardi 8 décembre 2009-15:22:53

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Archivage à long terme le : jeudi 18 octobre 2012-10:21:07

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tel-00439782 , version 1 (08-12-2009)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00439782 , version 1

Citer

Christian Mercat. Discrete Complex Analysis. Mathematics [math]. Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc, 2009. ⟨tel-00439782⟩

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