Geometric structure detection in point clouds
Détection de structure géométrique dans les nuages de points
Résumé
This thesis deals with the general question of geometric inference. Given an object that is only known through finite sampling, what conditions are required on the sampling in order to be able to estimate correctly some of its topological or geometric properties ? Topological estimation is by now quite well understood. Most existing approaches rely on the notion of distance function. We use the distance function in order to estimate a notion of curvature due to Federer, that is defined for a rather general class of non-smooth objects. We study the stability of an approximate version of these measures when the unknown object is replaced by a discrete approximation; we also deal with the practical computation of these measures in the discrete setting. An anisotropic notion of these curvature measures can be used to robustly estimate the locus and the direction of sharp edges of a piecewise smooth surface from a point-cloud sampling. Theoretical results required to study some regularity properties of the distance function, such as the volume of the medial axis. A drawback of distance-based methods is their extreme sensibility to outliers. In order to overcome this problem we propose to leave the purely geometric setting, and replace compact sets with measures (as in Lebesgue theory). We introduce a notion of distance function to a measure, which is robust to Wasserstein perturbations -- hence in particular to the addition of outliers. This distance function shares any regularity and stability properties with the usual distance function; this allows to extend many existing geometric inference theorems to this new setting.
Cette thèse s'inscrit dans la problématique générale de l'inférence géométrique. Étant donné un objet qu'on ne connaît qu'à travers un échantillon fini, à partir de quelle qualité d'échantillonage peut-on estimer de manière fiable certaines de ses propriétés géométriques ou topologique? L'estimation de la topologie est maintenant un domaine assez mûr. La plupart des méthodes existantes sont fondées sur la notion de fonction distance. Nous utilisons cette approche pour estimer certaines notions de courbure dues à Federer, définies pour une classe assez générale d'objets non lisses. Nous introduisons une version approchée de ces courbures dont nous étudions la stabilité ainsi que calcul pratique dans le cas discret. Une version anisotrope de ces mesures de courbure permet en pratique d'estimer le lieu et la direction des arêtes vives d'une surface lisse par morceaux échantillonnée par un nuage de point. En chemin nous sommes amenés à étudier certaines propriétés de régularité de la fonction distance, comme le volume de l'axe médian. Un défaut des méthodes qui utilisent la fonction distance est leur extrême sensibilité aux points aberrants. Pour résoudre ce problème, nous sortons du cadre purement géométrique en remplaçant les compacts par des mesures de probabilité. Nous introduisons une notion de fonction distance à une mesure, robuste aux perturbations Wasserstein (et donc aux points aberrants) et qui partage certaines propriétés de régularité et de stabilité avec la fonction distance usuelle. Grâce à ces propriétés, il est possible d'étendre de nombreux théorèmes d'inférence géométrique à ce cadre.
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