Fast computation on structured matrices : Hankel matrices.
Calcul rapide sur les matrices structurées : Les matrices de Hankel.
Résumé
We give a new algorithm for the blocs diagonalization of Hankel matrices. When the matrix corresponds to a linear recurrent sequence we obtain a simplified version of Berlekamp-Massey's algorithm, more easy to implement and to understand than the usual one. Also our version is slightly faster and allows us to use lazzy techniques. We give a very simple and purely algebraic proof of the frobenius's theorem for the signature of real Hankel matrices. We give a study of the Extended Euclidean Algorithm and of his matricial versions using Hankel or Bezout matrices and we explain the links between all these versions.
Cette thèse présente une contribution à l'amélioration de certains résultats concernant les algorithmes en Algèbre linéaire et plus particulièrement les algorithmes sur les matrices structurées. Nous présentons un nouvel algorithme de diagonalisation par blocs des matrices de Hankel, particulièrement efficace. Dans le cas où la matrice de Hankel correspond à une suite récurrente linéaire, nous retrouvons ainsi l'algorithme de Berlekamp-Massey, mais dans une version simplifiée (plus facile à expliquer et à programmer) et accélérée par des troncatures. En outre notre version permet une gestion dynamique des données. Notre diagonalisation par blocs, qui s'applique sur un corps arbitraire, nous permet de donner une démonstration purement algébrique et simple d'un délicat théorème de Frobenius pour la signature d'une forme de Hankel réelle. Nous donnons également une étude approfondie de l'algorithme d'Euclide signé et de ses versions matricielles pour les matrices de Hankel et de Bezout associées à un couple de polynômes. Nous expliquons les rapports existants entre différents algorithmes connus dans la littérature.
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