Marches aléatoires réversibles en milieu aléatoire - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2010

Reversible random walks in random environment

Marches aléatoires réversibles en milieu aléatoire

Résumé

We consider two models of reversible random walks in random environment. The first one is the random walk among random conductances. We prove that the environment viewed by this walk converges to equilibrium polynomially fast in the variance sense, our main hypothesis being that the conductances are bounded away from zero. The basis of our method is the establishment of a Nash inequality, followed either by a comparison with the simple random walk or by a more direct analysis based on a martingale decomposition. For the second model that we consider, we attribute a positive value \tau_x to each x in Z^d. The random walk we consider, often called "Bouchaud's model", is reversible for the measure with weights (\tau_x). We assume that these weights are independent and identically distributed random variables with polynomial tail. We give the asymptotic behaviour of the principal eigenvalue of the generator of this random walk, with Dirichlet boundary conditions. The prominent feature of the result is a phase transition, that occurs at some threshold depending on the dimension. When the (\tau_x) are non-integrable and for d > 4, we also obtain the subdiffusive scaling limit of this model. We begin our proof by expressing the random walk as a time change of a random walk among random conductances. We then focus on proving that the time change converges, under the annealed measure, to a stable subordinator. This is achieved using previous results concerning the mixing properties of the environment viewed by the time-changed random walk.
Nous nous intéressons à deux modèles de marches aléatoires réversibles en milieu aléatoire. Le premier est la marche aléatoire en conductances aléatoires. Nous montrons que l'environnement vu par cette marche converge vers l'équilibre à une vitesse polynomiale au sens de la variance, notre hypothèse principale étant que les conductances sont uniformément minorées. Notre méthode se base sur l'établissement d'une inégalité de Nash, suivie soit d'une comparaison avec la marche aléatoire simple, soit d'une analyse plus directe fondée sur une méthode de martingale. Pour le deuxième modèle qui nous intéresse, on attribue pour tout x de Z^d une valeur positive \tau_x. La marche construite, souvent appelée "modèle de Bouchaud", est réversible par rapport à la mesure de poids (\tau_x). Nous supposons que ces poids sont indépendants, de même loi et à queue polynomiale. Nous donnons le comportement asymptotique de la valeur propre principale du générateur de cette marche aléatoire, avec conditions aux bords de Dirichlet. La caractéristique principale du résultat est une transition de phase, qui a lieu pour un seuil dépendant de la dimension. Lorsque les (\tau_x) ne sont pas intégrables et pour d > 4, nous obtenons également la limite d'échelle, sous-diffusive, de ce modèle. La méthode consiste dans un premier temps à exprimer la marche aléatoire comme un changement de temps d'une marche aléatoire en conductances aléatoires. Il suffit alors de montrer que ce changement de temps, une fois normalisé, converge sous la loi moyennée vers un subordinateur stable. Ce résultat est obtenu en utilisant les propriétés de vitesse de convergence à l'équilibre de l'environnement vu par la particule montrées précédemment.
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Dates et versions

tel-00484257 , version 1 (18-05-2010)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00484257 , version 1

Citer

Jean-Christophe Mourrat. Marches aléatoires réversibles en milieu aléatoire. Mathématiques [math]. Université de Provence - Aix-Marseille I; PUC de Chile, 2010. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00484257⟩
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