(Co)homologies and K-theory of Bianchi groups using computational geometric models
(Co)homologies et K-théorie de groupes de Bianchi par des modèles géométriques calculatoires
Résumé
This thesis consists of the study of the geometry of a certain class of arithmetic groups, by means of a proper action on a contractible space. We will explicitly compute their group homology, and their equivariant K-homology. More precisely, consider an imaginary quadratic number field, and its ring of integers R. The Bianchi groups are the groups SL_2(R) and PSL_2(R). These groups act in a natural way on hyperbolic three-space. The Bianchi groups are a key to the study of a larger class of groups, the Kleinian groups, which dates back to works of Poincaré. In fact, each non-cocompact arithmetic Kleinian group is commensurable with some Bianchi group. The author has implemented the computation of a fundamental domain for the Bianchi groups. By computing the stabilisers and identifications on this fundamental domain, we obtain an explicit orbifold structure. We use it to study different aspects of the geometry of our groups. Firstly, we compute group homology with integer coefficients, using the equivariant Leray/Serre spectral sequence. Secondly, we compute the Bredon homology of the Bianchi groups, from which we deduce their equivariant K-homology. By the Baum/Connes conjecture, which is verified by the Bianchi groups, we obtain the K-theory of the reduced C*-algebras of the Bianchi groups, as isomorphic images. Finally, we complexify our orbifolds, by complexifying the real hyperbolic three-space. We obtain orbifolds given by the induced action of the Bianchi groups on complex hyperbolic three-space. Then we compute the Chen/Ruan orbifold cohomology for these complex orbifolds. This is one side of Ruan's cohomological crepant resolution conjecture.
Cette thèse consiste d'une étude de la géométrie d'une certaine classe de groupes arithmétiques, à travers d'une action propre sur un espace contractile. Nous calculons explicitement leur homologie de groupe, et leur K-homologie équivariante. Plus précisément, considérons un corps de nombres quadratique imaginaire et son anneau d'entiers A. Les groupes de Bianchi sont les groupes SL_2(A) et PSL_2(A). Ces groupes agissent d'une manière naturelle sur l'espace hyperbolique à 3 dimensions. Ils constituent une clef pour l'étude d'une classe plus large de groupes, les groupes Kleiniens, étudiés depuis Poincaré. En fait, chaque groupe Kleinien arithmétique non-cocompact est commensurable avec un des groupes de Bianchi. L'auteur a implémenté à l'ordinateur, le calcul d'un domaine fondamental pour ces groupes. En calculant les stabilisateurs et identifications sur ce domaine fondamental, nous obtenons une structure explicite d'orbi-espace. Nous nous en servons pour étudier des aspects différents de la géométrie des groupes de Bianchi. D'abord, nous calculons l'homologie de groupe à coefficients entiers, à l'aide de la suite spectrale équivariante de Leray/Serre. Ensuite, nous calculons l'homologie de Bredon de groupes de Bianchi, de laquelle nous déduisons leur K-homologie équivariante. Par la conjecture de Baum/Connes, qui est vérifiée par nos groupes, nous obtenons la K-théorie des C*-algèbres réduites de nos groupes. Finalement, nous complexifions nos orbi-espaces, en complexifiant l'espace hyperbolique. Ceci nous permet de calculer la cohomologie d'orbi-espace de Chen/Ruan, qui est l'un des deux côtés de la conjecture de la résolution cohomologique crépante de Ruan.
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