La théorie de Gross-Pitaevskii pour un condensat de Bose-Einstein en rotation : vortex et transitions de phase - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2010

The Gross-Pitaevskii theory for a rotating Bose-Einstein condensate : vortices and phase transitions

La théorie de Gross-Pitaevskii pour un condensat de Bose-Einstein en rotation : vortex et transitions de phase

Nicolas Rougerie

Résumé

When a Bose gas is cooled below a certain critical temperature, all particles gather in the same energy state, forming a Bose-Einstein condensate. Such an object can be described using a macroscopic wave function that minimizes the Gross-Pitaevskii energy functional. A remarkable property of Bose-Einstein condensates is that they are superfluid. In particular they can nucleate quantized vortices when set into rotation. In this thesis we study the behavior of the ground states and ground state energies of the two-dimensional Gross-Pitaevskii energy functional in certain asymptotic regimes describing interesting physical situations. Our purpose is to identify phase transitions characterized by the organization of vortices in the condensate. In a first chapter we consider a situation where it is physically justified to simplify the problem by restricting the variational space. We minimize the Gross-Pitaevskii functional amongst the functions of the first eigenspace of the Ginzburg-Landau operator (that is the lowest Landau level, linked to the Fock-Bargmann space). We study theoretically and numerically the simplified problem in a regime where the condensate is annular and contains a distorted vortex lattice. A second chapter is devoted to an extreme rotation regime where the limit problem becomes linear. We prove that this limit problem accurately describes the energy and matter density asymptotics. Under an additional assumption we prove that a giant vortex appears. That is an annular condensate whose vortices gather in the central low density hole. In the third and fourth chapters we aim at evaluating the critical speed for the appearance of the giant vortex. We first prove that the giant vortex forms above a certain threshold that we compute as a function of the other parameters in the problem. This yields an upper bound to the critical speed. We then prove that this upper bound is optimal by considering slightly subcritical speeds. We prove that in this case vortices do occur in the condensate and are uniformly distributed along a particular circle.
Lorsqu'un gaz de bosons est suffisament refroidi, une transition de phase apparaît : toutes les particules se concentrent dans le m^eme état d'énergie. On appelle l'objet résultant de ce phénomène un condensat de Bose-Einstein. On peut le décrire par une fonction d'onde macroscopique, minimisant à l'équilibre la fonctionnelle d'énergie de Gross-Pitaevskii. Une des propriétés remarquables des condensats est leur superfluidité. Elle peut se manifester par l'apparition de vortex (tourbillons) dans un condensat mis en rotation. Dans cette thèse nous étudions le comportement asymptotique des minimiseurs de la fonctionnelle de Gross-Pitaevskii bi-dimensionelle et des énergies associées dans différents régimes de paramètres rendant compte de situations physiquement intéressantes. Nous cherchons à identifier certaines transitions de phase caractérisées par l'organisation des vortex du condensat. Dans une première partie nous étudions une situation où il est justié physiquement de considérer un problème simplifié. La minimisation de la fonctionnelle d'énergie est alors restreinte au premier espace propre de l'opérateur de Ginzburg-Landau (le plus bas niveau de Landau, lié à l'espace de Fock-Bargmann). Nous étudions théoriquement et numériquement le modèle simplifié dans un régime où le condensat est annulaire et contient un réseau de vortex déformé. Une seconde partie est consacrée à un régime de rotation extrême où le problème limite devient linéaire. Nous montrons que ce problème limite décrit correctement les asymptotiques d'énergie et de densité de matière. Sous une hypothèse supplémentaire nous démontrons qu'un vortex géant se forme, c'est-à-dire un condensat annulaire dont tous les vortex se rassemblent dans la zone centrale de faible densité de matière. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'évaluation de la vitesse critique pour l'apparition du vortex géant. Nous montrons d'abord que le vortex géant apparaît au dessus d'un certain seuil que nous calculons en fonction des autres paramètres du problème, ce qui fournit une borne supérieure de la vitesse critique. Dans une quatrième partie nous montrons que cette borne supérieure est en fait optimale en considérant des vitesses proches du seuil par valeur inférieure. Nous montrons alors que des vortex sont présents dans le condensat et qu'ils se répartissent uniformément le long d'un cercle.
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Identifiants

  • HAL Id : tel-00547404 , version 1

Citer

Nicolas Rougerie. La théorie de Gross-Pitaevskii pour un condensat de Bose-Einstein en rotation : vortex et transitions de phase. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2010. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00547404⟩
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