Domain decomposition methods and artificial boundary conditions in fluid dynamics: Optimized Order 2 method.
Méthode de décomposition de domaine et conditions aux limites artificielles en mécanique des fluides: méthode Optimisée d'Orde 2.
Résumé
The purpose of this work is the design and study of a domain decomposition method, the Optimized Order 2 (OO2) method, in order to solve convection-diffusion equation. Its main advantage is that it is a general domain decomposition technique, with no a priori knowledge of the boundary layers or the recirculation zones location. The OO2 Method is an iterative non overlapping domain decomposition method. The domain is divided into subdomains, and the physical problem is solved in each subdomain, with specific conditions at the interfaces. These conditions are differential equations of order 1 in the normal direction and of order 2 in the tangential direction to the interface, which are optimized approximations of Artificial Boundary Conditions (ABC). The use of ABC in domain decomposition produces stable algorithms. A reformulation of the Schwarz algorithm leads to an interface problem, solved by a Krylov type algorithm (BICG-STAB, GMRES, GCR). The OO2 Method is used with an upwind difference scheme, and a finite volume scheme. A ``low wave number'' preconditioner is introduced and studied in order to make the convergence independent of the number of subdomains. This preconditioner is an extension to non-symmetric problems of a preconditioner used for symmetric problems. Along with the use of differential conditions of order 2 along the interface, we need to add conditions at interface cross-points. A study of one type of cross-points conditions leads to well-posed problems in the subdomains.
Ce travail a pour objet le développement et l'étude d'une méthode de décomposition de domaine, la méthode Optimisée d'Ordre 2 (OO2), pour la résolution de l'équation de convection-diffusion. Son atout principal est de permettre d'utiliser un découpage quelconque du domaine, sans savoir à l'avance où sont situés les phénomènes physiques tels que les couches limites ou les zones de recirculation. La méthode OO2 est une méthode de décomposition de domaine sans recouvrement, itérative, parallélisable. Le domaine de calcul est divisé en sous-domaines, et on résout le problème de départ dans chaque sous-domaine, avec des conditions de raccord spécifiques sur les interfaces des sous-domaines. Ce sont des conditions différentielles d'ordre 1 dans la direction normale et d'ordre 2 dans la direction tangente à l'interface qui approchent, par une procédure d'optimisation, les Conditions aux Limites Artificielles (CLA). L'utilisation des CLA en décomposition de domaine permet de définir des algorithmes stables. Une reformulation de la méthode de Schwarz conduit à un problème d'interface. Celui-ci est résolu par une méthode itérative de type Krylov (BICG-STAB, GMRES, GCR). La méthode est appliquée à un schéma aux différences finies décentré, puis à un schéma volumes finis. Un préconditionneur ``basses fréquences'' est ensuite introduit et étudié, dans le but d'avoir une convergence indépendante du nombre de sous-domaines. Ce préconditionneur est une extension aux problèmes non-symétriques d'un préconditionneur utilisé pour des problèmes symétriques. Enfin, l'utilisation de conditions différentielles d'ordre 2 le long de l'interface nécessite d'ajouter des conditions de raccord aux points de croisement des sous-domaines. Une étude est menée a ce sujet, qui permet de montrer que les problèmes dans chaque sous-domaine sont bien posés.
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