p-variations approchées et erreurs d'arrondis - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2011

Realized power variations and round-off errors

p-variations approchées et erreurs d'arrondis

Abstract

In this thesis, we study the asymptotic properties of processes observed discretely in time, and with a round-off error, when both the time lag between two observations and the size of the round-off error go to 0. This thesis is divided into three parts; in the first one we recall some elements about semimartingale and the different kinds of convergences we will use. Chapter 2 is devoted to the study of p,q-variations for a 2-dimensional Brownian motion ; we find that two important parameters appear: the first is the quotient between the size of the round-off and the square root of the time lag and the second the covariance matrix associated with the brownian motion. We obtain different laws of large numbers, that depend whether the first parameter converges or diverges and whether this matrix is or is not invertible. When it is not, very different behaviours arise when the two components of the Brownian motion have a rational quotient and when it is irrational. In chapter 3 we deal with asymptotic p-variations of rounded-off semimartingales. We first prove laws of large numbers for either renormalized or non-renormalized p-variations, as well as a law of large numbers for 2-dimensional continuous semimartingales, using some results from chapter 2. In some cases, namely in the non-renormalized one, we also prove, with some unavoidable further assumptions on the semimartingale, a central limit theorem.
Cette thèse porte sur l'étude des propriétés asymptotiques des p-variations de processus observés de manière discrète dans le temps et entachés d'une erreur d'arrondi en espace. Cette thèse comporte trois parties ; le chapitre 1 est consacré à des rappels sur les semimartingales et les types de convergences étudiés. Dans le chapitre 2, nous étudions les p,q-variations associées à un mouvement brownien bidimensionnel arrondi lorsque les pas de temps et d'espace tendent vers 0. Leur comportement dépend de deux paramètres : le premier est le rapport entre le pas d'arrondi et la racine du pas de temps, les résultats différant radicalement selon que ce paramètre converge ou diverge ; le second est la matrice de covariance associée au mouvement brownien. Lorsque celle-ci est inversible, le comportement des p,q-variations avec arrondi est une généralisation naturelle de celui des p-variations d'un brownien unidimensionnel arrondi. Lorsque par contre la matrice de covariance est dégénérée, les deux composantes du brownien sont proportionnelles et nous obtenons des lois des grands nombres très différentes selon que le rapport entre les deux est ou non rationnel. Le chapitre 3 s'intéresse au comportement asymptotique des p-variations d'une semimartingale arrondie. Nous montrons dans un premier temps des lois des grands nombres pour les p-variations renormalisées ou non renormalisées, ainsi qu'une généralisation à des semimartingales bidimensionnelles continues. Lorsque cela est possible, c'est-à-dire pour des p-variations non-renormalisées, nous prouvons ensuite des théorèmes centraux limites associés, au prix d'hypothèses supplémentaires sur la structure de la semimartingale.
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Dates and versions

tel-00600623 , version 1 (15-06-2011)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00600623 , version 1

Cite

Pierre-Henri Cumenge. p-variations approchées et erreurs d'arrondis. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00600623⟩
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