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Theses Year : 2011

Quantum Field Theory Approach to the Derivation of Kinetic Equations

Approche QFT de la dérivation d'équations cinétiques

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Abstract

The derivation of a kinetic equation is the justification from a microscopic model describing a given physical system of an evolution equation containing the relevant information at a macroscopic scale on this system. In this PhD thesis we study, on some particular cases, the derivation of kinetic equations with the framework of quantum field theory (QFT) and semiclassical calculus. After a general introduction, the second part is dedicated to the derivation of the linear Boltzmann equation for a particle in a Gaussian random field, within the low density (or weak interaction) limit. More general initial data are considered than in the work of Erdös and Yau on the same subject, but a renewal of the random field is used to get the Markovian properties of the evolution. In the third part a proof is given of a formula describing the evolution of a Wick quantized observable for a dynamic defined by a quadratic quantum time-dependent Hamiltonian. This formula holds both in finite and infinite dimension. The fourth part is a joint work with Zied Ammari devoted to the derivation of the defocusing cubic nonlinear Schrödinger equation in dimension one, for bosons interacting via a delta potential, within the mean field limit.
La dérivation d'équations cinétiques consiste à obtenir, à partir d'un modèle microscopique décrivant un système physique donné, des équations d'évolution contenant les informations pertinentes d'un point de vue macroscopique sur ce système. Dans cette thèse on s'intéresse, dans des cas particuliers, à la dérivation d'équations cinétiques par des méthodes utilisant le formalisme de la théorie quantique des champs (QFT) et le calcul semi-classique en dimension finie et infinie. Après une introduction générale, on traite dans la seconde partie de la dérivation de l'équation de Boltzmann linéaire pour une particule dans un champ aléatoire Gaussien, dans la limite de faible densité (ou de faible couplage). On considère des données initiales plus générales que dans les travaux de Erdös et Yau sur le même sujet mais on renouvelle l'aléa pour obtenir le caractère Markovien de l'évolution. On démontre dans la troisième partie une formule décrivant l'évolution, pour un Hamiltonien quantique quadratique dépendant du temps, d'une observable quantifiée à l'aide de la quantification de Wick. Cette formule est valable en dimension finie ou infinie. Enfin la quatrième partie est un travail conjoint avec Zied Ammari. On y considère des bosons interagissant via un potentiel delta, dans la limite de champ moyen, en dimension un. On dérive de ce modèle l'équation de Schrödinger non-linéaire cubique défocalisante.
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Dates and versions

tel-00606213 , version 1 (05-07-2011)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00606213 , version 1

Cite

Sébastien Breteaux. Approche QFT de la dérivation d'équations cinétiques. Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2011. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00606213⟩
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