On Reeb dynamics and the growth rate of contact homology
Étude dynamique des champs de Reeb et propriétés de croissance de l'homologie de contact
Résumé
We study contact geometry, and focus on the study of periodic orbits of the Reeb vector field. It is a conjecture of Colin and Honda that for universally tight contact structures on hyperbolic manifolds, the number of Reeb periodic orbits grows exponentially with respect to the period, and they speculate further that the growth rate of contact homology is polynomial on non-hyperbolic manifolds. Along the lines of the conjecture, for manifolds with a hyperbolic component that fibers on the circle, we prove that there are infinitely many non-isomorphic contact structures for which the number of periodic orbits of any non degenerate Reeb vector field grows exponentially. Our result hinges on the exponential growth of contact homology which we derive as well. We also compute contact homology in some non hyperbolic cases that exhibit polynomial growth, namely those of universally tight contact structures non transverse to the fibers on a circle bundle. Finally we study consequences on Reeb periodic orbits of a bypass attachment, an elementary change of the contact structure consisting in attachment of half an overtwisted disc along a Legendrian arc. We describe new periodic orbits in terms of Reeb chords of the attachment arc, we compute contact homology of a product neighborhood of convex surfaces after a bypass attachment and we compute contact homology for some contact structures on solid tori.
Le sujet de cette thèse est la géométrie de contact, en particulier l'étude des orbites périodiques du champ de Reeb. Colin et Honda ont conjecturé que sur une variété hyperbolique munie d'une structure de contact universellement tendue, le nombre d'orbites périodiques de Reeb croit exponentiellement avec la période. Dans les cas non hyperboliques, ils prédisent un comportement polynomial de l'homologie de contact. On montre dans ce texte qu'une variété possédant une composante hyperbolique qui fibre sur le cercle porte une infinité de structures de contact non isomorphes pour lesquelles le nombre d'orbites périodiques de tout champ de Reeb non dégénéré croit exponentiellement avec la période. Ce résultat s'obtient grâce à un résultat de croissance de l'homologie de contact. De plus, on calcule l'homologie de contact et sa croissance dans un cas non hyperbolique : celui des structures universellement tendues non transversales aux fibres sur un fibré en cercles. Enfin, on étudie l'effet d'un recollement de rocade sur les orbites périodiques de Reeb. Cette opération décrit une modification élémentaire de la structure de contact. Elle consiste en l'attachement d'un demi-disque vrillé le long d'un arc legendrien contenu dans le bord de la variété. On montre que les orbites de Reeb créées s'expriment comme mots en les cordes de Reeb de l'arc d'attachement. On calcule l'homologie de contact d'un voisinage produit d'une surface convexe après recollement de rocade ainsi que de certaines structures sur le tore plein.
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