General Planetary Theory. Orbital elements of the planets over 1 million years
Théorie Générale Planétaire. Eléments orbitaux des planètes sur 1 million d'années
Résumé
In this work, the planetary averaged equations are computed to high order using dedicated computer algebra. The resulting system comprises more than 150 000 polynomial terms in complex variables and approximate very well the long term evolution of the Solar System. The system of equations is developed up to order 2 in the masses and order 5 in eccentricity and inclination. The system of degree 3 is analytically integrated at first order and provide a solution with more than 25 000 terms. The problem of secular small divisors is discussed and a list of small divisors that arise with large amplitude in the solution is exhibited, the leading one being related to $g_1 -g_5 +(s_2 -s_1)$ that arises in the eccentricity of Mercury and Jupiter, and in the inclination of Mercury and Venus. It is acknowledge that the presence of these divisors greatly compromise the construction of the analytical solution, without considering the fact that the same solution of degree 5 comprises more than 3 000 000 terms. The seculars equations are then numerically integrated in a very efficient way over 1 million years, using a step size of 500 years for all the planets, after adding the averaged contribution from general relativity and the Moon. By comparison with the numerical ephemeris DE102 over more than 3000 years, it is demonstrated that the secular equations represent very well the long term evolution of the Solar System.
Dans ce travail, les équations moyennes des mouvements planétaires sont calculées à un ordre élevé grâce à une programmation en calcul formel dédié. Le système résultant comprend plus de 150 000 termes polynomiaux et fournit une très bonne approximation de l'évolution à long terme du système solaire. Le système d'équations est développé à ordre 2 dans les masses et l'ordre 5 en excentricité et inclinaison. le système de degré 3 est intégré analytiquement au premier ordre ce qui fournit une solution de plus de 25 000 termes. Le problème des petits diviseurs séculaires est discuté et une liste de petits diviseurs de grande amplitude dans la solution est donnée, le terme principal étant lié à l'argument $ g_1-g_5 + (s_2-s_1) $ qui intervient dans l'excentricité de Mercure et de Jupiter, et dans l'inclinaison de Mercure et de Vénus. Il est démontré que la présence de ces diviseurs compromet grandement la construction d'une solution analytique, sans tenir compte du fait que la même solution de degré 5 comprend plus de 3 000 000 termes. Les équations séculaires sont ensuite intégrées numériquement d'une façon très efficace sur plus de 1 million d'années, avec un pas de 500 ans pour toutes les planètes, après avoir rajouté la contribution moyenne de la relativité générale et de la Lune. Par comparaison avec les éphémérides DE102 sur plus de 3000 ans, il est démontré que les équations séculaires représentent très bien l'évolution à long terme du système solaire.