Upper bounds for eigenvalues of natural operators on compact Riemannian manifolds
Bornes supérieures pour les valeurs propres des opérateurs naturels sur des variétés Riemanniennes compactes
Résumé
The purpose of this thesis is to find upper bounds for the eigenvalues of natural operators acting on functions on a compact Riemannian manifold $(M,g)$ such as the Laplace-Beltrami operator and Laplace-type operators. In the case of the Laplace-Beltrami operator, two aspects are investigated: The first aspect is to study relationships between the intrinsic geometry and eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator. In this regard, we obtain upper bounds depending only on the dimension and a conformal invariant called min-conformal volume. Asymptotically, these bounds are consistent with the Weyl law. They improve previous results by Korevaar and Yang and Yau. The proof relies on the construction of a suitable family of disjoint domains providing supports for a family of test functions. This method is powerful and interesting in itself. The second aspect is to study the interplay of the extrinsic geometry and eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator acting on compact submanifolds of $R^N$ and of $C P^N$. We investigate an extrinsic invariant called the intersection index studied by Colbois, Dryden and El Soufi. For compact submanifolds of $R^N$, we extend their results and obtain upper bounds which are stable under small perturbation. For compact submanifolds of $C P^N$, we obtain an upper bound depending only on the degree of submanifolds and which is sharp for the first eigenvalue. As a further application of the introduced method, we obtain an upper bound for the eigenvalues of the Steklov problem in a domain with $C^1$ boundary in a complete Riemannian manifold in terms of the isoperimetric ratio of the domain and the min-conformal volume. A modification of our method also lead to have upper bounds for the eigenvalues of Schrödinger operators in terms of the min-conformal volume and integral quantity of the potential. As another application of our method, we obtain upper bounds for the eigenvalues of the Bakry-Emery Laplace operator depending on conformal invariants and properties of the weighted function.
Le but de cette thèse est de trouver des bornes supérieures pour les valeurs propres des opérateurs naturels agissant sur les fonctions d'une variété compacte $(M,g)$. Nous étudions l'opérateur de Laplace-Beltrami et des opérateurs du type laplacien. Dans le cas de l'opérateur de Laplace-Beltrami, deux aspects sont étudiés. Le premier aspect est d'étudier les relations entre la géométrie intrinsèque et les valeurs propres du laplacien. Nous obtenons des bornes supérieures ne dépendant que de la dimension et d'un invariant conforme qui s'appelle le volume conforme minimal. Asymptotiquement, ces bornes sont en cohérence avec la loi de Weyl. Elles améliorent également les résultats de Korevaar et de Yang et Yau. La preuve repose sur la construction d'une famille convenable de domaines disjoints fournissant des supports pour une famille de fonctions tests. Cette méthode est puissante et intéressante en soi. Le deuxième aspect est d'étudier la relation entre la géométrie extrinsèque et les valeurs propres du laplacien agissant sur des sous-variétés compactes de l'espace euclidien $R^N$ ou de l'espace projectif complexe $CP^N$. Nous étudions un invariant extrinsèque qui s'appelle l'indice d'intersection étudié par Colbois, Dryden et El Soufi. Pour des sous-variétés compactes de $R^N$, nous généralisons leurs résultats et obtenons des bornes supérieures qui sont stables l'effet de petites perturbations. Pour des sous-variétés de $CP^N$, nous obtenons une borne supérieure ne dépendant que du degré des sous-variétés et qui est optimale pour la première valeur propre non nulle. Comme autre application de la méthode introduite, nous obtenons une borne supérieure pour des valeurs propres du problème de Steklov sur des sous-domaines à bord $C^1$ d'une variété riemannienne complète, en termes du rapport isopérimétrique du domaine, et du volume conforme minimal. Une modification de notre méthode donne des bornes supérieures pour les valeurs propres des opérateurs de Schrödinger en termes du volume conforme minimal et de l'intégrale du potentiel. Nous obtenons également les bornes supérieures pour les valeurs propres du laplacien de Bakry-Emery dépendant d'invariants conformes.
Loading...