Le présent manuscrit propose une synthèse des travaux de recherche de l'auteur de ces dix dernières années. Il est divisé en deux grandes parties. La première partie regroupe les modèles et techniques de résolution développés par l'auteur pour résoudre des problèmes de dynamique non linéaire des structures élastiques et piézoélectriques. Le fil conducteur de cette partie est celui de la résolution d'un problème de mécanique. La première étape est le choix d'un modèle adapté. Ainsi, on propose une synthèse des modèles non linéaires géométriques de milieux minces, classés et comparés à la fois en terme de formulation et d'hypothèses. Des modèles analytiques et numériques sont mis en regard, depuis leur fondement dans la mécanique des milieux continus non linéaire, jusqu'à leur écriture opérationnelle. Ensuite, des méthodes de résolution adaptées sont décrites : discrétisation des modèles analytiques par projection modale, réduction de modèles éléments finis par la même technique, modes non linéaires, méthodes numériques de continuation. Des techniques expérimentales spécifiques aux vibrations non linéaires sont aussi décrites. La seconde partie donne une vue d'ensemble des principaux résultats associés aux trois thèmes d'application des recherches de l'auteur : la dynamique non linéaire des plaques et des coques, avec des applications aux instruments de musique à percussion, la réduction de vibration de structures par shunts piézoélectriques et enfin les vibrations non linéaires de micro/nano systèmes électromécaniques. Cette seconde partie fait largement référence aux résultats généraux de la première et en donne ainsi des illustrations et des applications.