Towards a Theory of Proofs of Classical Logic - TEL - Thèses en ligne
Habilitation À Diriger Des Recherches Year : 2011

## Towards a Theory of Proofs of Classical Logic

Lutz Strassburger

#### Abstract

The questions "What is a proof?" and "When are two proofs the same?" are fundamental for proof theory. But for the most prominent logic, Boolean (or classical) propositional logic, we still have no satisfactory answers. This is embarrassing not only for proof theory itself, but also for computer science, where classical propositional logic plays a major role in automated reasoning and logic programming. Also the design and verification of hardware is based on classical Boolean logic. Every area in which proof search is employed can benefit from a better understanding of the concept of proof in classical logic, and the famous NP-versus-coNP problem can be reduced to the question whether there is a short (i.e., polynomial size) proof for every Boolean tautology. Usually proofs are studied as syntactic objects within some deductive system (e.g., tableaux, sequent calculus, resolution, ...). Here we take the point of view that these syntactic objects (also known as proof trees) should be considered as concrete representations of certain abstract proof objects, and that such an abstract proof object can be represented by a resolution proof tree as well as by a sequent calculus proof tree, or even by several different sequent calculus proof trees. The main theme of this work is to get a grasp on these abstract proof objects, and this will be done from three different perspectives, studied in the three parts of this thesis: abstract algebra (Chapter 2), combinatorics (Chapters 3 and 4), and complexity (Chapter 5).
Les questions "Qu'est-ce qu'une preuve?" et "Quand deux preuves sont-elles identiques?" sont fondamentales pour la théorie de la preuve. Mais pour la logique classique propositionnelle --- la logique la plus répandue --- nous n'avons pas encore de réponse satisfaisante. C'est embarrassant non seulement pour la théorie de la preuve, mais aussi pour l'informatique, où la logique classique joue un rôle majeur dans le raisonnement automatique et dans la programmation logique. De même, l'architecture des processeurs est fondée sur la logique classique. Tous les domaines dans lesquels la recherche de preuve est employée peuvent bénéficier d'une meilleure compréhension de la notion de preuve en logique classique, et le célèbre problème NP-vs-coNP peut être réduit à la question de savoir s'il existe une preuve courte (c'est-à-dire, de taille polynomiale) pour chaque tautologie booléenne. Normalement, les preuves sont étudiées comme des objets syntaxiques au sein de systèmes déductifs (par exemple, les tableaux, le calcul des séquents, la résolution, ...). Ici, nous prenons le point de vue que ces objets syntaxiques (également connus sous le nom d'arbres de preuve) doivent être considérés comme des représentations concrètes des objets abstraits que sont les preuves, et qu'un tel objet abstrait peut être représenté par un arbre en résolution ou dans le calcul des séquents. Le thème principal de ce travail est d'améliorer notre compréhension des objets abstraits que sont les preuves, et cela se fera sous trois angles différents, étudiés dans les trois parties de ce mémoire: l'algèbre abstraite (chapitre 2), la combinatoire (chapitres 3 et 4), et la complexité (chapitre 5).

### Dates and versions

tel-00772590 , version 1 (10-01-2013)

### Identifiers

• HAL Id : tel-00772590 , version 1

### Cite

Lutz Strassburger. Towards a Theory of Proofs of Classical Logic. Logic in Computer Science [cs.LO]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2011. ⟨tel-00772590⟩

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