A Coordinate System associated to a Point Cloud issued from a Manifold: Definition, Properties and Applications
Un système de coordonnées associé à un échantillon de points d'une variété: définition, propriétés et applications
Résumé
Surfaces and manifolds represented by a set of discrete points are encountered in various application areas. In this thesis, we define a coordinate system on the manifold associated to such a point set which is a generalization of Sibson's natural neighbor coordinates. We show its fundamental mathematical properties as well as its application to scattered data interpolation on manifolds. Furthermore, we introduce the notion of Voronoi atlas defined as a collection of Voronoi cells that approximate the Voronoi diagram restricted to the manifold. We describe its application in surface reconstruction and re-meshing. In addition, we show the basic properties of natural neighbor coordinates in power diagrams and we survey the interpolation methods based on natural neighbor coordinates. This survey details some proofs that are omitted in the original papers.
Dans de nombreux domaines d'applications, une variété plongée dans l'espace euclidien est souvent représentée par un échantillon de points. Nous définissons dans cette thèse un système de coordonnées associé à un tel échantillon sur la variété qui généralise les coordonnées naturelles définies par Sibson. Nous exhibons ses propriétés mathématiques fondamentales ainsi que son application à l'interpolation d'une fonction définie sur la variété. Nous introduisons la notion d'atlas de Voronoï, défini comme un ensemble de cellules approximant le diagramme de Voronoï restreint à la variété et montrons son application à la reconstruction de surface et au remaillage. Enfin, nous étendons les propriétés des coordonnées naturelles aux diagrammes de puissance et proposons une synthèse des méthodes d'interpolation par coordonnées naturelles. Cette dernière détaille des preuves omises dans les articles originaux.
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