Entiers friables en progressions arithmétiques, et applications - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2013

Friable integers in arithmetic progressions, and applications

Entiers friables en progressions arithmétiques, et applications

Sary Drappeau

Abstract

In this thesis, we study additive properties of integers having no large prime factors. An integer is said to be y-friable if all its prime factors are less than y. The first problem we focus on, is that of counting solutions to the equation a+b=c in y-friable integers a, b and c. The second question we address is the mean values of arithmetical functions over shifted friable numbers, of the shape n-1 where n is y-friable. The circle method reduces the first question to the problem of estimating exponential sums twisted by Dirichlet characters, over friable numbers, which is then done using classical harmonic analysis tools, and the saddle-point method. The first and second chapters study the problem respectively with and without assuming the Riemann hypothesis generalized to Dirichlet L-functions. The third and fourth chapters are dedicated to the second question, which reduces to the problem of the repartition of friable numbers in arithmetic progressions. This involves sums of Dirichlet characters over friable integers, as well as the large sieve. In the last chapter, the dispersion method is used to study the case of the average number of divisors of shifted friable integers.
Dans cette thèse, on s'intéresse à certaines propriétés additives des entiers n'ayant pas de grand facteurs premiers. Un entier est dit y-friable si tous ses facteurs premiers sont inférieurs à y. Leur étude est de plus en plus délicate à mesure que y est petit par rapport à la taille des entiers impliqués. On s'intéresse tout d'abord au comptage des solutions à l'équation a+b=c en entiers y-friables a, b et c On étudie ensuite la valeur moyenne de certaines fonctions arithmétiques sur les entiers friables translatés, de la forme n-1 où n est y-friable. La méthode du cercle permet de ramener la première question à l'étude de sommes de caractères de Dirichlet tordus par une exponentielle sur les entiers friables, qui sont ensuite évaluées en utilisant des outils classiques d'analyse harmonique, et en faisant intervenir la méthode du col. Les premier et deuxième chapitres étudient la situation respectivement avec et sans l'hypothèse de Riemann généralisée. Les troisième et quatrième chapitres sont consacrés à la seconde question, qui se ramène à l'étude de la répartition des entiers friables en moyenne dans les progressions arithmétiques. Cela met en jeu des sommes de caractères de Dirichlet sur les entiers friables, ainsi que le grand crible. Dans le dernier chapitre, la méthode de dispersion est employée pour étudier le cas particulier du nombre moyen de diviseurs des entiers friables translatés.
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Dates and versions

tel-00926351 , version 1 (09-01-2014)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00926351 , version 1

Cite

Sary Drappeau. Entiers friables en progressions arithmétiques, et applications. Théorie des nombres [math.NT]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2013. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00926351⟩
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