Au delà de l'évaluation en pire cas : comparaison et évaluation en moyenne de processus d'optimisation pour le problème du vertex cover et des arbres de connexion de groupes dynamiques. - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2009

Beyond the worst case evaluation: Comparison and average evaluation of optimization processes in the case of the vertex cover problem and trees connecting groups.

Au delà de l'évaluation en pire cas : comparaison et évaluation en moyenne de processus d'optimisation pour le problème du vertex cover et des arbres de connexion de groupes dynamiques.

Résumé

The complexity theory distinguishes between problems that are known to be solved in polynomial time in the size of the data ( which can be described as reasonable ) , the NP- complete problems , which require ( in the present state of knowledge) resolution time exponential in the size of data ( which may be unreasonable ) . It is for this reason that the scientific community has turned to algorithms ( polynomial ) approximation which measure quality is most often due to report worse approximation case (for a minimization problem size , an algorithm has a approximation ratio k if the size of any solution can be returned by the algorithm is less than or equal to k times the size of the optimal solution). In the literature, we come to consider an algorithm is perform better than another when it has a smaller ratio approximation in the worst case . However, be aware that this measure now "classic" does not take into account the reality of all possible executions of an algorithm ( it only considers executions leading to the worst solution). My thesis aim to better " capture " behavior approximation algorithms going further than simply Report approximation in worst case , and on two separate problems : I. The problem of Vertex Cover Showing that the average performance of an algorithm can be décorélées performance in worst case . For example , we have shown in the class of graphs specially designed to trap in worst case , the greedy algorithm "Maximum Degree Greedy " returns in average solutions whose size tends to optimum when n tends to infinity. In evaluating the average performance of an algorithm . We proved the online algorithm proposed by Demange and Paschos in 2005 (including worst-case approximation ratio is equal to the maximum degree of the graph ) is 2 - to- average approached in any graph . this result , combined with other , shows that this algorithm is " practice " better than most 2- approximate algorithms known despite a bad worst case approximation ratio . In comparing the performance of different algorithms ( analytically and experimentally ) . We have proposed an algorithm list, and we have shown analytically that always returns better solution that was built by another algorithm recent list [ 2006 ENT ] when they treat the same list of vertices (in some particular graphs , the size difference can be arbitrarily large) . We also compared analytically ( using tools as the generating series ) the average performance of six algorithms on the roads. We then tested on a Many graphs of various well- selected families. It is observed in these studies that the 2 - approximate algorithms are studied those with the worst average performance and those who have the best average behavior have bad reports approximation ( depending on the degree max. graph ) . All these results show that the worst case approximation ratio is not always sufficient to characterize the entire quality of an algorithm and other analyzes ( such as average ) must be made to do the trick. II . The problem of the dynamic connection of the networks in groups We analyzed a tree connecting a process of up-to- date in a network group members can join or leave at any time. Our process has good properties: it is easy to implement and guarantees after each add operation or withdrawal , the shaft diameter is not more than 2 times the optimum . However, to obtain this guarantee , we must authorize the Total reconstruction of the tree when the member identified as its root leaves the group . These steps are very reconstruction expensive and therefore we seek to assess the number . Previous studies showed that in the worst case , it is necessary rebuild (almost) every step to maintain the warranty on diameter . We show in this thesis (using the steps random , etc. . ) that , depending on certain parameters of the problem ( as the probabilities associated with operations addition and removal ) , the expected number of reconstructions is either logarithmic in the number of events ( adding or removing ) is constant. this result shows that the average behavior is very good ( despite the very worst case unfavorable) and our process up-to- date can be a viable solution in practice.
La théorie de la complexité distingue les problèmes que l'on sait résoudre en un temps polynomial en la taille des données (que l'on peut qualifier de raisonnable), des problèmes NP-complets, qui nécessitent (en l'état actuel des connaissances) un temps de résolution exponentiel en la taille des données (que l'on peut qualifier de déraisonnable). C'est pour cette raison que la communauté scientifique s'est tournée vers les algorithmes (polynomiaux) d'approximation dont la mesure de qualité se fait le plus souvent grâce au rapport d'approximation en pire cas (pour un problème de minimisation de taille, un algorithme a un rapport d'approximation de k si la taille de toute solution pouvant être retournée par l'algorithme est inférieure ou égale à k fois la taille de la solution optimale). Dans la littérature, on en vient à considérer qu'un algorithme est plus performant qu'un autre lorsqu'il possède un plus petit rapport d'approximation en pire cas. Cependant, il faut être conscient que cette mesure, désormais "classique", ne prend pas en compte la réalité de toutes les exécutions possibles d'un algorithme (elle ne considère que les exécutions menant à la plus mauvaise solution). Mes travaux de thèse ont pour objet de mieux "capturer" le comportement des algorithmes d'approximation en allant plus loin que le simple rapport d'approximation en pire cas, et ce sur deux problèmes distincts : I. Le problème du Vertex Cover En montrant que les performances moyennes d'un algorithme peuvent être décorélées des performances en pire cas. Par exemple, nous avons montré que dans la classe des graphes spécialement conçus pour le piéger en pire cas, l'algorithme glouton "Maximum Degree Greedy" retourne, en moyenne, des solutions dont la taille tend vers l'optimum lorsque n tend vers l'infini. En évaluant les performances moyennes d'un algorithme. Nous avons prouvé que l'algorithme online présenté par Demange et Paschos en 2005 (dont le rapport d'approximation en pire cas est égal au degré maximum du graphe) est au plus 2-approché en moyenne dans n'importe quel graphe. Ce résultat, combiné à d'autres, montre que cet algorithme est "en pratique" meilleur que la plupart des algorithmes 2-approchés connus, malgré un mauvais rapport d'approximation en pire cas . En comparant les performances de différents algorithmes (analytiquement et expérimentalement). Nous avons proposé un algorithme de liste et nous avons prouvé analytiquement qu'il retourne toujours une meilleure solution que celle construite par un autre algorithme de liste récent [ORL 2006] quand ils traitent la même liste de sommets (dans certains graphes particuliers, la différence de taille peut être arbitrairement grande). Nous avons également comparé analytiquement (en utilisant des outils comme les séries génératrices) les performances moyennes de six algorithmes sur les chemins. Nous les avons ensuite expérimentées sur un grand nombre de graphes de diverses familles bien choisies. On constate dans ces études que les algorithmes 2-approchés étudiés sont ceux qui obtiennent les plus mauvaises performances en moyenne et que ceux qui ont les meilleurs comportements moyens ont de mauvais rapports d'approximation (fonction du degré max. du graphe). Tous ces résultats montrent que le rapport d'approximation en pire cas n'est pas toujours suffisant pour caractériser l'intégralité de la qualité d'un algorithme et que d'autres analyses (en moyenne notamment) doivent être effectuées pour en faire le tour. II. Le problème de la connexion de groupes dynamiques dans les réseaux Nous avons analysé un processus de mise-à-jour d'un arbre connectant dans un réseau un groupe que les membres peuvent rejoindre ou quitter à tout moment. Notre processus possède de bonnes propriétés : il est simple à implémenter et il garantit, après chaque opération d'ajout ou de retrait, que le diamètre de l'arbre est au plus 2 fois l'optimal. Cependant, pour obtenir cette garantie, nous devons autoriser la reconstruction totale de l'arbre lorsque le membre identifié comme sa racine quitte le groupe. Ces étapes de reconstruction sont très coûteuses et nous cherchons donc à en évaluer le nombre. Des travaux précédents montraient que dans le pire cas, il faut reconstruire (quasiment) à chaque étape pour conserver la garantie sur le diamètre. Nous montrons dans cette thèse (en utilisant les marches aléatoires, etc.) que, en fonction de certains paramètres du problèmes (comme les probabilités associées aux opérations d'ajout et de retrait), l'espérance du nombre de reconstructions est soit logarithmique en le nombre d'évènements (ajout ou retrait), soit constant. Ce résultat montre que le comportement moyen est très bon (malgré un pire cas très défavorable) et que notre processus de mise-à-jour peut être une solution viable en pratique.
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tel-00927315 , version 1 (12-01-2014)

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  • HAL Id : tel-00927315 , version 1

Citer

François Delbot. Au delà de l'évaluation en pire cas : comparaison et évaluation en moyenne de processus d'optimisation pour le problème du vertex cover et des arbres de connexion de groupes dynamiques.. Recherche opérationnelle [math.OC]. Université d'Evry-Val d'Essonne, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00927315⟩
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