The ABC of Creative Telescoping --- Algorithms, Bounds, Complexity
Résumé
Creative telescoping is an algorithmic principle that has been developed since the 1990s in combinatorics and computer algebra, notably since Doron Zeilberger's work, in order to compute with parametrised sums and integrals, whether it be to find explicit forms or to justify identities in sums or integrals. The process is particularly suited to a large family of functions and sequences given by linear differential and recurrence equations, whether it be special functions of analysis, sequences of combinatorics, or families of orthogonal polynomials. In the present memoir, I shall recount the evolution of algorithms and of my contributions in adapting the approach to larger and larger classes of functions, from the initial framework of hypergeometric sequences, given by first-order recurrences, to the case of functions given by higher-order equations, then to functions given by positive-dimensional ideals. The difficulty to obtain fast implementations in all these cases stems from the computation of a certificate that justifies the applicability of creative telescoping, this certificate being naturally of large size. This motivated me in the complexity study of the process. Several tracks of improvement have been explored, first by trying and maintaining the certificate in compact form, then in obtaining algorithms that are validated without computing any certificate. As often, estimating the arithmetical sizes of objects involved in creative telescoping has at the same time guided the design of new, more efficient algorithms and made it possible to estimate their theoretical complexity. Finally, I shall briefly indicate the new direction taken in my works, towards formal proofs, which reveal new tracks for a better justification of the use of creative telescoping.
Le télescopage créatif est un principe algorithmique développé depuis les années 1990 en combinatoire et en calcul formel, notamment depuis les travaux de Doron Zeilberger, pour calculer avec des sommes et intégrales paramétrées, que ce soit pour trouver des formes explicites ou pour justifier des identités intégrales ou sommatoires. Le procédé est particulièrement adapté à une grande famille de fonctions et suites données par des équations linéaires différentielles et de récurrences, que ce soient des fonctions spéciales de l'analyse, des suites de la combinatoire, ou des familles de polynômes orthogonaux. Dans ce mémoire, je retrace l'évolution des algorithmes et de mes contributions pour adapter le procédé à des classes de fonctions de plus en plus générales, du cadre initial des suites hypergéométriques, données par des récurrences d'ordre 1, aux cas de fonctions données par des équations d'ordre supérieur, ceci jusqu'aux fonctions données par des idéaux non zéro-dimensionnels. La difficulté d'obtenir des implantations rapides dans tous ces cas repose sur le calcul d'un certificat justifiant l'application du télescopage créatif, ce certificat étant par nature de grande taille. Ceci m'a motivé dans l'étude de la complexité du procédé. Plusieurs pistes d'amélioration ont été explorées, d'abord en essayant de maintenir compact ce certificat, puis en obtenant des algorithmes validés sans passer par son calcul. Comme souvent, l'estimation des tailles arithmétiques des objets intervenant dans le telescopage créatif a à la fois guidé le développement de nouveaux algorithmes plus efficaces et permis leur estimation théorique de complexité. Pour finir, j'indique brièvement la direction qu'a prise mes travaux récents sur le sujet, vers la preuve formelle, et qui font ressortir des pistes pour une meilleure justification de l'application du télescopage créatif.
Domaines
Calcul formel [cs.SC]
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