Some homological algebra computations in the category of unstable modules
Algèbre homologique dans la catégorie des modules instables
Abstract
The aim of this work is to study injective resolutions of certain objects in the category $\mathcal{U}$ of unstable modules. More
precisely, we concentrate on the minimal injective resolution of the module $F(1)$ as well as ones of the reduced cohomology of
spheres. For that purpose, the pseudo-hyper resolution is introduced, allowing to construct an explicit resolution of an
unstable module from an acyclic sequence admitting this module as its first homology. This construction and the
hyper resolution do look alike but are not identical. In our situation, we consider the sequence without splitting it into
short exact sequences to avoid unnecessary concerns about the differentials. Placing the resolutions of each term in the
sequence together, we obtain a fake double complex. Fortunately, the injectivity of modules in this double complex
allow us to insert enough differentials that make the total sequence a complex. This complex is indeed the resolution
for the considered module. To deal with the particular cases ofthe reduced cohomology of
spheres, the pseudo-hyper resolution wil be translated
into the algorithm BG. Together with this procedure, the Bockstein sequence gives a simple description on a large
part of the minimal injective resolution of the reduced cohomology of
spheres. The minimal injective resolution of $F(1)$ is too much to deal with. Few results on this matter have been known.
Luckily the nilpotent part of this resolution is quite accessible. Using the computations on the derived functors of the functor localisation away from $\mathcal{N}il$ and the computation of the Maclane cohomology,
we first show that this part is periodic and then give a simple description for several terms.
These are crucial to show that the natural map $\mathrm{Ext}^{t}_{\mathcal{U}}(\Phi^{r}F(1),\Phi^{r}F(1))\to \mathrm{Ext}^{t}_{\mathcal{U}}(\Phi^{r+1}F(1),\Phi^{r+1}F(1))$ is injective
in many cases.
The work is also decorated with a new elemenatary proof on the characterization of the Krull filtration and a
fully faithful embedding from the category $\mathcal{P}_{d}$ to the category $\mathcal{U}$.
Cette thèse présente l’étude des résolutions injectives de certains objets de la catégorie $\mathcal{U}$ des modules instables,
nécessaire pour faire l’algèbre homologique dans cette catégorie. Plus précisément, on donne des descriptions sur la
résolution injective minimale du module instable $F(1)$ libre monogène engendré par un générateur de degré $1$ ainsi que celles des cohomologies réduites des sphères.
Nous introduisons à cet effet de la pseudo-hyper résolution. Elle permet de construire une résolution explicite d’un
module instable à partir d’une suite acyclique dont la première homologie est ce module. Cette construction ressemble
à celle de l’hyper résolution mais n’est pas identique. Dans notre situation, on joue directement sur les termes de
la suite acyclique, considère la résolution de chaque terme et les rassemble pour avoir un faux complexe double. En
s’appuyant sur l’injectivité des modules de ce complexe double, on y ajoute suffisamment de différentielles pour faire
de la suite totale un complexe qui est en fait une résolution du module considéré. Pour traiter les cohomologies des
sphères, on reformule la pseudo-hyper résolution sous forme d’un algorithme élémentaire appelé BG. Cet algorithme,
joint à la suite à la Bockstein injective, permet d’avoir une description explicite sur une grande partie de la résolution
injective minimale dedes cohomologies réduites des sphères. Une seule modeste partie de la partie nilpotente de la résolution injective minimale de $F(1)$ est découverte.
En utilisant les études sur les dérivés du fonteur de localisation loin de $\mathcal{N}il$ sur module $F(1)$ et le calcul de la cohomologie de Maclane du corps $\mathbb{F}_{2}$, on montre que la partie nilpotente de la
résolution est périodique et calcule explicitement quelques termes de cette partie. Ce sont les ingrédients cruciales pour
montrer que le morphisme naturel $\mathrm{Ext}^{t}_{\mathcal{U}}(\Phi^{r}F(1),\Phi^{r}F(1))\to \mathrm{Ext}^{t}_{\mathcal{U}}(\Phi^{r+1}F(1),\Phi^{r+1}F(1))$ est injectif dans plusieurs
cas intéressants. On décore cette thèse avec une nouvelle preuve élémentaire sur la caractérisation de la filtration de Krull de la
catégorie $\mathcal{U}$ ainsi qu’un plongement pleinement fidèle de la catégorie $\mathcal{P}_{d}$
de foncteurs polynomiaux stricts dans la catégorie $\mathcal{U}$.
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